模糊数学法在项目管理网络计划中的应用
（文献综述）
交通运输工程学院博士生 毛大德
近年来，项目管理的应用范围已大大扩展。项目管理对日程安排和活动（任务）的控制，使得项目能够在最短的时间下完成。为了保证项目的成功，项目管理团队必须确定利益相关者，确定他们的需求和期望以及去管理这些需求和期望。项目网络是指根据优先权来决定孰先孰后的一系列活动。这样一个项目网络可以用有向图表示。其中，分别有两种略有不同的表达方法——双代号网路图和单代号网络图（见图1和图2）。
图1.双代号网络图
图2.单代号网络图
在单代号网络图中，节点代表工作，箭杆线代表各项工作之间的关系。一条从开始节点到结束节点的路线就是一个工作流程。线路的长度就是这个整个工作的持续时间。在项目网络中该项目所需要的时间等同于最长线路的长度。最长路径被称为网络中的关键路径。如果沿着所有路径的工作都已经完成，就认定这个项目完成了。在持续时间和优先关系确定了之后，就用项目管理技术来计算该项目的完成时间。
最常用的项目管理技术有关键线路法（CPM）、项目评审技术（PERT）等。PERT是最广泛应用于规划和协调大型项目的管理技术。在19世纪50年代，它通常用来帮助管理人员安排、监督和控制大型复杂项目。如今，它被广泛应用于工业和服务业。 通过使用计划评审技术，管理人员能够获得：
① 项目活动（任务）的图形显示。 ② 估计的项目的持续时间。
③ 哪些活动是及时完成项目的关键。
④ 在不影响总体工程进展的前提下，一个任务最长的延期。
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在传统的PERT中，各种动态活动工期必须用简单的数字描述或用某些概率分布的随机变量表示（如正太分布）。在PERT中，每项活动要求三个估计时间：一定能完成的时间，很可能（或最可能）完成时间和不能完成的时间。一定能完成的时间就是被安排的工作最快能够完成的时间；可能的时间是最有可能需要的时间；最悲观的时间则是最早情况下预期的时间。这三种时间估计被用来计算预计的完工时间和每项工作之间的工差。PERT技术的主要缺点是很难获得估计的时间。这种方法很难获得某些情况下有关活动工期的详细信息，比如早期对长久工程的粗略估计。在实际工作中，一个项目网络中活动的操作时间可能难以界定和准确估计。因此，在一个网络中计算出该项目的完成时间方差是非常重要的。最近几年，许多研究者结合模糊集理论与计划评审技术用于项目计划和控制问题的时间预估。这就是所谓的模糊计划评审技术新方法（FPERT）。FPERT方法由惯于用模糊数来表示网络活动项目工期的Chanas和Kamburowski首次提出。
一旦知道个别活动工期的可能性分布，就可以得出整个项目的工期的可能性分布。所有模糊活动工期的计算都基于三个时间估算，而模糊数学法则用于计算项目网络的完成时间的上限和下限。
Chanas和Kamburowski的方法有个缺点，即在不同α值下有不同的项目完成时间界限。在这种情况下，没有有效的方法来指示关键活动和项目的网络路径。为了弥补这个不足，我们假设每个活动的持续时间是一个正模糊数。用每个模糊时间的一部分，他们指出间隔时间A=［aL，aR］，aL，aR分别代表持续时间的上限和下限。使用传统的PERT, 一个时间范围的线性组合可以用来代表每个活动的运算时间，并确定关键性的活动和路径。然而，用这种方法不同的α值决定不同的关键活动和路线。
Chanas和Kamburowski [5]假设每项活动的作业时间可用脆值，区间或一个模糊数作为代表。计算步骤与其他的方法差不多。在Dubois等人提出的方法中，对随机选择的一套活动中的关键线路的每项活动的重要性进行了区分。这些FPERT使用模糊数来表示活动的运行时间以减少不确定性。然而，计算每项活动的重要程度和路径的程序相当复杂。此外，没有可行的有效和直接的方法去估计符合规定时间的可能性。
事实上，不确定性是信息的一个属性。主观判断或专家预测活动时间也许是不明确的。使用语言变量或模糊数去表示是合理的。FPERT提出了一个方法来对处理项目网络完成时间的管理和所有活动的重要度。首先，一个项目网络的模糊完成时间是来自模糊活动的操作时间。第二，计算活动和路线的关键度的指数已经定好。然后，用一个直接的方式来确定使用的项目网络中的的关键活动和关键路线。最后，决定项目符合规定时间的可能性的指数就被找出来了。
1、模糊集和符号
一个模糊集能够在数学上被论域中的每个可能代表自己在模糊集中与整体的等级关
系的个体所构造。本级对应于独立的相似模糊集所代表的概念。因此，在模糊集中可以用隶属度的大小来表示某种个体的多少。如前所述，这些个体的等级往往用从最小值0到最高1的实数代表。
模糊数A就是满足下面条件的函数
1．函数2．函数3．函数
~的集合：
分段连续 是凸模糊集
是一个正常模糊集，这意味着，至少有一个元素x0的隶属度必须
2
是1，
模糊数被定义为：
(1)
a??0,1?
αααα符号A代表在X中的非空界限，A=??aL，aR??,aL和aR分别为闭区间的下限和上限
αα[22,34]
任何两个正模糊数m和n所构成的a线是
和
（a??0,1?）。基
于置信区间，以下主要操作都可以用两个积极的模糊数m和n表示：
(2) (3)
图3. 积极三角模糊数T
?是一个积极??(l,m,u)。但l＞0时，T特别是在实际应用中常见的三角模糊数，指出T?的隶属函数，被定的三角模糊数（PTFN）〔11，34〕，图3展示了一个积极的三角模糊数T义为：
?x?l?m?l，l?x?m? μ~?u?x，m?x?u (4)
?T?u?m?0，其他??其中l＞0,
????给出两个积极三角模糊数T和T，模糊加法和减法可以执行，m1，u1）1（l12（l2，m2，u2）如下〔22〕：
??T?? (5) T12（l1?l2，m1?m2，u1?u2）
3
??T?? (6) T12（l1-l2，m1-m2，u1-u2） 许多排名的方法已经发展到将模糊数转化为简单实用的方法了，提出了所谓广义平均值
??(l,m,u)，广义平均值法，它是一个排名和比较模糊数的有效方法。对于三角模糊数T?）?）和偏差S（T已经被给出： G（T?）=l?m?u (7) G（T3l222T）=?1?m?u??lm?lu? S（? m u (8) ??18????两个三角模糊数T和T能进行一下对比： ，m1，u1）1（l12（l2，m2，u2）（1） 如果G（T1）＞G（T2）则T1＞T2。
?）?）（2） 如果G（T1）=G（T2）并且S（TT1?S（2则T1＞T2 ?）=S（T?）（3） 如果G（T1）=G（T2）并且S（T1?T2。 12则T2、提出的方法
由于网络项目的活动工期通常很难估计和准确地确定，用语言变量或模糊数来表示是
合理的。这里在项目网络中每个活动的操作时间的特点是一个积极的三角模糊数。项目网络被单代号网络图表示，除了项目活动，单代号网络图包括两个不耗时的确切的任务，即最初的节点（I）和结束节点（E）。根据计划评审技术，远期的通过率依靠最早开始时间和最早结束时间：
(9)
(10)
e?ie代表模糊的最早开始时间（其中在开始节点i=I时，S??e式中S），代表模糊的最F?（0,0,0）iI??e早结束时间（其中，在结束节点i=E时，F，P（i）是E与项目网络中的结束时间Tend相等）
?i是活动i的运行时间。 活动i的基础设定，d反算是为了去计算模糊的最迟的开始时间和最迟的结束时间：
(11)
(12)
?1??1?1式中F，Si代表最迟的完成时间（其中当i=E时，FE=Tend）i代表模糊的最迟开始时间，S（i）代表活动i的后续活动。
e1?ie，S?1??FPERT采用了广义平均法来对比模糊数和计算每个活动的S，和FiFi。 i 4
在传统的PERT中，每一项活动自由的时间（自由时间），要么是与最迟的和最早开
e1e1????始时间或与最迟和最早的结束时间不同〔30〕。一旦Si，Si，Fi和Fi被确定为第i项活动，
模糊自由的时间要么是：
1e???S i （13） i mi?S??i?F?1?e或者：mi?Fi （14）
e?i代表模糊的自由时间，S?1?式中m代表模糊的最迟开始时间，Si代表模糊的最早开始ie?1?时间，F代表模糊的最迟结束时间，Fii代表模糊的最早结束时间。
?ie，S?1?e?1特性：从Si，Fi和Fi的定义中我们知道式（13）和（14）是相等的，推出
1e1e????Si?Si=Fi?Fi。
e1??ie，S?1??证明：假设对应于活动i的由S，，FFii和di所确定的α线已经给出 i
ααeeα???其中α??0,1?，从式（10）中我们得知Fi?Si?Fi。
因此： 并有：
α1?1?? 同样，从式（12）中，我们得知： S?F?diii
αα
因此： 并有：
α1iα
αα?ieRS?ieR??1SfFiL分别代入方程求解和，和，我们获得：
同样，减去方程，我们得到：
和
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