将这些方程代入模糊自由时间的定义中，
α??0,1?，
我们得出式（13）和式（14）是相同的。
根据这个性质，我们可以很容易地计算出在网络中的所有项目活动的模糊自由时间。在传统的PERT中，如果活动i的自由时间为0则它被当做一个关键性的活动，这个概念指出了随着模糊的自由时间的减少项目的关键性在增加，如果活动I 的模糊的自由时间为
?i?(a,b,c)，因此。活动的关键性被定义为 miii
（15）
其中CDi表示活动i的重要度。
在一个项目网络中，路径是一系列活动的顺序，从最初的节点到终端节点，由活动的关键度决定，全路线的关键性是：
（16）
式中Pk表示网络工作中的第k条路径，?(Pk)代表第k条路径的关键性。
如果路线P是关键路线，则?(P)必须满足?(P)?maxk??(Pk)?。
?end表示的项目网络由于模糊数是用以表达在网络中的所有项目活动的运行时间，用T?）?来?end和R的完成时间是一个模糊数。对于一个指定的需要时间（R，我们可以通过比较T??(r,r,r)，项目网络工作的完成时计算项目计划实行的可能性。假设指定的时间要求是R123?end与R?之差为R?end?(e,e,e)。则T??T?end?(r?e,r?e,r?e)和模糊数的隶属函数间为T123132231??T?end为μ~~。 RR?Tend因此，恰好符合指定项目的完成时间的可能性可以按如下方式决定：
?end，项目将在指定的时间内完成，因此适合所?绝对大于T（1） 如果r1?e3?0，则R
6
需时间的可能性为100%。
?end，项目不能在指定的时间内完成，因此适合?绝对小于T（2） 如果r3?e1?0，则R指定时间完成的可能性为0。
?end和R?的隶属函数部分重叠，意味着项目也许能按（3） 如果r1?e3?0?r3?e1，则T??T?end的正面部分越大，适合要求的时间的可能性越高。时完成，隶属函数R适合指定的要求时间的可能性为
（17）
??（x）dx，δ2??x?0μR（x）dx， 式中δ1??x?0μR（见μR??T?end??T?end??T?end为R?Tend的隶属函数图.4）
??T?end 图.4 R的隶属函数
在项目网络中，如果我们缩短关键路径上活动的持续时间会增加PM值。然而，在关键线路上往往有两个以上的活动具有相同的关键度。在考虑资源有限的前提下，必须确定优先活动来缩短活动时间。在项目网络中如果i和j两个活动的关键性相同并且
CDi?CDj?1，则广义平均法可用于确定优先次序以缩短活动持续时间。根据活动的关键性概念，对每个活动来说当模糊自由时间较小时其关键度会提高。因此，减少广义平均值是为了缩短活动的持续时间。
3、实例
举一个例子来说明上面所提出的方法。图.5为一个项目网络，这次活动的运作时间用三角模糊数表示，见表1。用这种方法，每个活动的模糊的最早开始时间，模糊的最早结束时间，模糊的最迟开始时间，模糊的最迟结束时间及模糊的自由时间计算如表1。 例如，活动2的关键性为CD2?1，在项目网络中各条线路的关键性的对比见表2。路线
7
I-2-5-8-9-E为项目网络中的一条关键线路。
图.5 项目网络图
项目网络计算结果 表1 任务 运行时间 最早开始时间（ES） 最早结束时间（EF） 最迟开始时间(LS) 最迟结束时间(LF) 浮动时间?） （m(-17,0,17) (-16,2,20) (-17,0,17) (-17,1,19) (-16,1,18) (-17,0,17) (-17,1,19) (-15,2,18) (-17,0,17) (-17,0,17) (-17,0,17) 关键度 I （0,0,0） (0,0,0) 1 （1,4,7） (0,0,0) 2 （2,5,8） (0,0,0) 3 (2,4,6) (2,5,8) 4 (2,3,5) (2,5,8) 5 (3,4,6) (2,5,8) 6 (3,5,8) (4,9,14) 7 (4,5,7) (4,8,13) 8 (4,6,8) (5,9,14) 9 (3,5,7) (9,15,22) E (0,0,0) (12,20,29)
（0,0,0） （1,4,7） （2,5,8） (4,9,14) (4,8,13) (5,9,14) (7,14,22) (8,13,20) (9,15,22) (12,20,29) (12,20,29) (-17,0,17) (-16,2,20) (-17,0,17) (-9,6,21) (-8,6,20) (-9,5,19) (-3,10,23) (-2,10,22) (-3,9,22) (5,15,26) (12,20,29) (-17,0,17) (-9,6,21) (_9,5,19) (-3,10,23) (-3,9,22) (-3,9,22) (5,15,26) (5,15,26) (5,15,26) (12,20,29) (12,20,29) 1 0.89 1 0,94 0.94 1 0.94 0.88 1 1 1 每条路线的关键度 表2 编号 路线 ?(Pk) 0.89 0.94 0.94 0.88 0.94 1 1 2 3 4 5 6
I-1-3-6-9-E I-2-3-6-9-E I-2-4-6-9-E I-2-4-7-9-E I-2-4-8-9-E I-2-5-8-9-E 8
不同需求时间下的PM值 表3 ? R?end T（12,20,29） （12,20,29） （12,20,29） （12,20,29） （12,20,29） （12,20,29） ??T?end R（-21，-11，-1） （-20，-4,12） （-9,-1,6） (-12,5,21) (-7,8,22) (0,13,23) PM 0 0.28 0.41 0.74 0.89 1 ?1=(8,9,11) R?2=(9,16,24) R?3=(10,15,32) R?4=(17,25,33) R?5=（22,28,34） R?6=（29,33,35） R
关键线路上调整活动持续时间的PM值 表4 ? R工期调整的节点 ?end T??T?end RPM ?=（2,3,5） d2?=（3,3,3） d5?=（4,4,5） d8?=（3,4,4） d9（9,18,28） （-18，-3,23） 0.49 （10,19,29） （-19，-4,22） 0.46 （10,19,29） （-19，-4,22） 0.46 （12,19,26） （-16，-4,20） 0.46 ?=（2,3,5）并且d?=（3,3,3） （11,17,25） （-15，-2,21） 0.53 d25（10,15,32） ?=（2,3,5）并且d?=（4,4,5） （10,17,26） （-16，-2,22） 0.53 d28?=（2,3,5）并且d?=（3,4,4） （9,17,25） d29（-15,8,23） 0.74 ?=（3,3,3）并且d?=（4,4,5） （10,19,29） （-19，-4,22） 0.46 d58?=（3,3,3）并且d?=（3,4,4） （10,18,26） （-16，-3,22） 0.51 d59?=（4,4,5）并且d?=（3,4,4） （10,18,26） （-16，-3,22） 0.51 d89?3=(10,15,32)并且T?end=当所需要的时间和相对应的PM值如表3所示时，例如，如果R 9
?=(10,15,32)相符，则在关键线路上活（12,20,29）则的值为0.41，如果模糊的需要时间与R动时间能够缩短，整个项目网络的完成时间也就减少了。如表4所示，由于在网络中关键
线路为I-2-5-8-9-E，活动2,5,8和9的运行时间将被缩短以增加PM值。例如，当活动2的
?end=（9,18,28）对应的PM值运行时间由（2,5,8）减少为（2,3,5）时，模糊完成时间变为T为0.49。
当活动2和9的运行时间同时缩短时（如表4所示），相应的PM值为0.74，由计算结
?=（10,15,32）PM值提高了74%。使用这个方法很果可知，相对于固定的模糊必须时间R容易通过减少关键线路的活动时间来提高整个项目的PM值。在项目网络中判定一个活动的关键性和计算其PM值变成了很容易的事情。
4、对比结果
为了验证Dubois等人提出的方法的有效性〔26〕，通过基于表1的数据找到关键线路进行对比。根据Dubois等人提出的方法 ，活动操作时间可以表示为模糊数，每项活动的清晰的时间可以在模糊的运行时间范围内随机进行选择，在项目网络中依据所有活动时间的不同组合我们能够决定出关键线路。根据表1的数据，三个组合（Ω1，Ω2和Ω3）被用来确定关键线路，根据第一个组合Ω1=（7,8,6,5,6,8,7,8,7），我们能够找到两条关键线路：I-2-3-6-9-E和I-2-5-8-9-E，见表5。同样的，依据组合Ω2和Ω3，我们分别能得到I-2-5-8-9-E和I-1-3-6-9-E两条关键线路（见表6，表7）。无疑，在项目网络中活动持续时间的不同组合能够产生不同的关键线路。在Dubois等人提出的方法中，在项目网络中，活动的关键度和关键线路很难轻易的找出来。根据Mon等人提出的方法，关键路径与不同的a和k值（见表8），在他所提出的方法中a和λ值的不同组合可能在一个项目网络中产生不同的关键路径。比较结果表明，这里提出的方法在确定活动的关键性和寻找关键线路上更有效。这是这种方法在解决模糊计划评审技术问题方面非常重要的贡献。另外，用来处理更多的有争议的数据（模糊数）的电脑程序已经被研发出来，使用这个程序，项目经理能够更加简单有效的找到活动的关键度和关键路线。
组合Ω1的计算结果 表5
任务 运行时间 最早开始时间（ES） 最早结束时间（EF） 最迟结束时间（LF） 最迟开始时间（LS） 浮动时间 关键线路Ⅰ 关键线路Ⅱ I 0 0 0 0 0 0 1 7 0 7 8 1 1 2 8 0 8 8 0 0 3 6 8 14 14 8 0 4 5 6 5 6 8 8 8 14 13 14 22 14 14 22 9 8 14 1 0 0 I-2-3-6-9-E I-2-5-8-9-E 7 7 13 20 22 15 2 8 8 14 22 22 14 0 9 7 22 29 29 22 0 E 0 29 29 29 29 0
10