实变函数试题库及参考答案 本科
一、题
1．设A,B为集合，则?A\\B??B?A?B（用描述集合间关系的符号填写） 2．设A是B的子集，则A?B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集 4．有限个开集的交是开集
5．设E1、E2是可测集，则m?E1?E2??mE1?mE2（用描述集合间关系的符号填写） 6．设E??是可数集，则mE=0
17．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E??xf?x??a??是可测集，则称f?x?在E上可测
n*8．可测函数列的上极限也是可测函数
9．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?，则fn?x??gn?x??f?x??g?x? 10．设f?x?在E上L可积，则f?x?在E上可积
11．设A,B为集合，则?B\\A??A?A（用描述集合间关系的符号填写） 12．设A?2k?1k?1,2,?，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 13．设E??，如果E中没有不属于E，则称E是闭集 14．任意个开集的并是开集
15．设E1、E2是可测集，且E1?E2，则mE1?mE2 16．设E中只有孤立点，则mE=0
117．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E??xf?x??a??是可测，则称f?x?在E上可测
*n??18．可测函数列的下极限也是可测函数
19．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?，则fn?x?gn?x??f?x?g?x? 20．设?n?x?是E上的单调增收敛于f?x?的非负简单函数列，则21．设A,B为集合，则?A\\B??B?B
22．设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数） 23．设E??，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集 24．有限个闭集的交是闭集 25．设E??，则mE?0
26．设E是?中的区间，则mE=E的体积
nnn?f?x?dx?lim???x?dx
En??En**127．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E??xf?x??a??是可测集，则称f?x?在E上可测
28．可测函数列的极限也是可测函数
29．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?a.e.，则fn?x??g?x?
30．设fn?x?是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于f?x?，由勒维定理，有
?f?x?dx?lim?En??Efn?x?dx
31．设A,B为集合，则?B\\A?B??A=A?B
32．设A为无理数集，则A=c（其中c表示自然数集?0,1?的基数） 33．设E??，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集 34．任意个闭集的交是闭集
*cnn**35．设E??，称E是可测集，如果?T??，mT?m?T?E??mT?E
n??*36．设E是外测度为零的集合，且F?E，则mF=0
137．设f?x?是定义在可测集E上的实函数，如果?a??，E?（a?b）则称f?x?在E上?xa?f?x??b??是可测，
可测
38．可测函数列的上确界也是可测函数
39．设fn?x??f?x?，gn?x??g?x?a.e.，则fn?x?gn?x??f?x?g?x?
40．设fn?x??f?x?，那么由黎斯定理，fn?x?有子列fnk?x?，使fnk?x??f?x?a.e.于E 41.设A,B为两个集合,则A?B__A?B.（等于）
n42.设E?R,如果E满足E??E(其中E?表示E的导集),则E是闭.
??c43.若开区间(?,?)为直线上开集G的一个构成区间,则(?,?)满(i)(a,b)?G (ii)a?G,b?G 44.设A为无限集.则A的基数A__a(其中a表示自然数集N的基数) 答案：? 45.设E1,E2为可测集, mE2???,则m(E1\\E2)__mE1?mE2. 答案：? 46.设f(x)是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有E[x47.设x0是E(?R)的内点,则mE__0. 答案?
48.设?fn(x)?为可测集E上的可测函数列,且fn(x)?f(x),x?E,则由____黎斯__定理可知得,存在?fn(x)?的子列
*f(x)?a]是可测集E上的可测函数.
?fnk(x),使得fnk(x)?f(x)n?a.e(x?E).
49.设f(x)为可测集E(?R)上的可测函数,则f(x)在E上的L积分值不一定存在且|f(x)|在E上不一定L可积. 50.若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数,则f(x)是[a,b]上的有界变差函数.
51．设A,B为集合，则A?B___(B\\A)?A 答案=
52．设E?R，如果E满足E?E（其中E表示E的内部），则E是开集
53．设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)?G且a?G,b?G，则(a,b)必为G的构成区间 54．设A?{x|x?2n,n为自然数}，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数) 55．设A,B为可测集，B?A且mB???，则mA?mB__m(A\\B) 答案 =
56．设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a?b)，都有E[xa?f(x)?b]是可测集 n0057．若E(?R)是可数集，则mE__0 答案=
a.e58．设?fn(x)?为可测集E上的可测函数列，f(x)为E上的可测函数，如果fn(x)?f(x)fn(x)?f(x) x?E不一定成立 59． 设f(x)为可测集E(?Rn)上的非负可测函数，则f(x)在E上的L积分值一定存在
60．若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则f(x)必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差） 多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设E???0,1?中无理数?，则（ ACD ）
A E是不可数集 B E是闭集 C E中没有内点 D mE?1
2．设E??n是无限集，则（ AB ）
A E可以和自身的某个真子集对等 B E?a（a为自然数集的基数）
C E??? D m*E?0
3．设f?x?是E上的可测函数，则（ABD ）
A 函数f?x?在E上可测 B f?x?在E的可测子集上可测
C f?x?是有界的
D f?x?是简单函数的极限
4．设f?x?是?a,b?上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC ）
A f?x?在?a,b?上可测 B f?x?在?a,b?上L可积
(x?E)，则
C f?x?在?a,b?上几乎处处连续
D f?x?在?a,b?上几乎处处等于某个连续函数
5．设E??，如果E至少有一个内点，则（ BD ）
nA m*E可以等于0 B m*E?0 C E可能是可数集 D E不可能是可数集
6．设E??是无限集，则（ AB ）
nA E含有可数子集 B E不一定有聚点 C E含有内点 D E是无界的
7．设f?x?是E上的可测函数，则（ BD ）
A 函数f?x?在E上可测
B f?x?是非负简单函数列的极限
C f?x?是有界的
D f?x?在E的可测子集上可测
8．设f?x?是?a,b?上的连续函数，则（ ABD ）
A f?x?在?a,b?上可测
B f?x?在?a,b?上L可积，且?R??f?x?dx??L??ab?a,b?f?x?dx f?x?dx
C f?x?在?a,b?上L可积，但?R??f?x?dx??L??ab?a,b?D f?x?在?a,b?上有界
9．设D?x?是狄利克莱函数，即D?x?????1x为?0,1?中有理数，则（ BCD ）
??0x为?0,1?中无理数A D?x?几乎处处等于1 B D?x?几乎处处等于0
C D?x?是非负可测函数 D D?x?是L可积函数
10．设E??，mE?0，则（ ABD ）
n*A E是可测集 B E的任何子集是可测集 C E是可数集 D E不一定是可数集
11．设E??，?E?x???n?1x?E，则（ AB ） c0x?E?A 当E是可测集时，?E?x?是可测函数 B 当?E?x?是可测函数时，E是可测集
C 当E是不可测集时，?E?x?可以是可测函数
D 当?E?x?是不是可测函数时，E不一定是可测集
12．设f?x?是?a,b?上的连续函数，则（BD ）
A f?x?在?a,b?上有界 B f?x?在?a,b?上可测
C f?x?在?a,b?上L可积 D f?x?在?a,b?上不一定L可积
13．设f?x?在可测集E上L可积，则（AC ）
A f??x?，f??x?都是E上的非负可积函数 B f??x?和f??x?有一个在E上的非负可积
C f?x?在E上L可积 D f?x?在E上不一定L可积
14．设E??是可测集，则（ AD ）
nA Ec是可测集 B mE??? C E的子集是可测集 D E的可数子集是可测集
15．设fn?x??f?x?，则（ CD ）
A fn?x?几乎处处收敛于f?x? B fn?x?一致收敛于f?x?
C fn?x?有子列fn?x?，使fn?x??f?x?a.e.于E D fn?x?可能几乎处处收敛于f?x?
16．设f?x?是?a,b?上有界函数，且L可积，则（BD ）
A f?x?在?a,b?上黎曼可积 B f?x?在?a,b?上可测
C f?x?在?a,b?上几乎处处连续 D f?x?在?a,b?上不一定连续
17. 设E?{[0,1]中的无理点},则(CD)
（A）E是可数集 （B）E是闭集 （C）E中的每个点均是聚点 （D）mE?0 18. 若E(?R)至少有一个内点，则（BD）