（A）mE可以等于０ （B）mE?0 （C）E可能是可数集 （D）E不可能是可数集 19．设E?[a,b]是可测集，则E的特征函数?E(x)是（ABC） （A）[a,b]上的符号函数 （C）E上的连续函数
（B）[a,b]上的可测函数 （D）[a,b]上的连续函数 20． 设f(x)是[a,b]上的单调函数，则（ACD）
（A）f(x)是[a,b]上的有界变差函数 （B）f(x)是[a,b]上的绝对连续函数 （C）f(x)在[a,b]上几乎处处收敛 （D）f(x)在[a,b]上几乎处处可导 21．设E?{[0,1]中的有理点}，则（ AC ）
（A）E是可数集 （B）E是闭集
（C）mE?0 （D）E中的每一点均为E的内点 22．若E(?R)的外测度为0，则（ AB ）
（A）E是可测集 （B）mE?0
（C）E一定是可数集 （D）E一定不是可数集
23．设mE???，?fn(x)?为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，如果
**fn(x)?f(x),(x?E)，则下列哪些结果不一定成立（ ABCD ）
（A）
?Ef(x)dx存在 （B）f(x)在E上L-可积
a.e（C）fn(x)?f(x)(x?E) （D）lim?fn(x)dx??f(x)dx
n??EE24．若可测集E上的可测函数f(x)在E上有L积分值，则（ AD ） （A）f(x)?L(E)与f(x)?L(E)至少有一个成立 （B）f(x)?L(E)且f(x)?L(E) （C）|f(x)|在E上也有L-积分值 （D）|f(x)|?L(E)
三、单项选择
1．下列集合关系成立的是（ A ）
????A ?B\\A??A?? B ?A\\B??A??
C ?A\\B??B?A D ?B\\A??A?B
2．若E?R是开集，则（ B ）
nA E??E B E0?E C E?E D E??E
4．设fn?x?是E上一列非负可测函数，则（ B）
??A ?limfn?x?dx?lim?fn?x?dx
En??n??EB ?limfn?x?dx?lim?fn?x?dx
En??n??EC ?limfn?x?dx?lim?fn?x?dx
En??n??ED lim?fn?x?dx??limfn?x?
n??EEn??5．下列集合关系成立的是（ A ）
????ccA ??A????A? B ??A????A?
??????????????????????cC ??A????A? D ??A?????A??
??????????????????6．若E?R是闭集，则（ C ）
ncccccA E?E? B E?E? C E??E D E0?E
7．设E为无理数集，则（ C ）
A E为闭集 B E是不可测集 C mE??? D mE?0 9．下列集合关系成立的是（B ）
????ccA ??A????A? B ??A????A?
?????????????????????c?cC ??A?????A?? D ??A??A?? ???????????????????10．设E?R，则( A )
ncccccA E?E B E??E C E?E? D E?E
11．设P为康托集，则（ B ）
A P是可数集 B mP?0 C P是不可数集 D P是开集 13．下列集合关系成立的是（ A）
A 若A?B则Bc?Ac B 若A?B则Ac?Bc
C 若A?B则A?B?B D 若A?B则A?B?B
14．设E?R，则（ A ）
nA E?E B E0?E C E??E D E?E?
15．设E?????x,0?0?x?1?，则（ B ）
A mE?1 B mE?0 C E是R2中闭集 D E是R2中完备集
16．设f?x?，g?x?是E上的可测函数，则（ B ）
A E??xf?x??g?x???不一定是可测集 B E??xf?x??g?x???是可测集
C E??xf?x??g?x???是不可测集 D E??xf?x??g?x???不一定是可测集
１7．下列集合关系成立的是（A）
（A）(A\\B)?B?A?B （B）(A\\B)?B?A （C）(B\\A)?A?A （D）B\\A?A
18. 若E??Rn?是开集，则 （ B ）
（A）E的导集?E （B）E的开核?E （C）E?E （D）E的导集?E 19. 设P的康托集，则(C)
（A）P为可数集 （B）P为开集 （C）mP?0 （D）mP?1
20、设E是R1中的可测集，?(x)是E上的简单函数，则 （ D ）
（A）?(x)是E上的连续函数 （B）?(x)是E上的单调函数 （C）?(x)在E上一定不L可积 （D）?(x)是E上的可测函数 21．下列集合关系成立的是（ A ）
（A）A?(B?C)?(A?B)?(A?C) （B）(A\\B)?A?? （C）(B\\A)?A?? （D）A?B?A?B
22. 若E??Rn?是闭集，则 （ B ）
（A）E0?E （B）E?E （C）E?E? （D）E?E? 23. 设Q的有理数集，则（ C ）
（A）mQ?0 （B）Q为闭集 （C）mQ?0 （D）Q为不可测集
24.设E是Rn中的可测集，f(x)为E上的可测函数，若?f(x)dx?0，则E（A）在E上，f(x)不一定恒为零 （B）在E上，f(x)?0 （C）在E上，f(x)?0 （D）在E上，f(x)?0 四、判断题
A ） （
1. 可数个闭集的并是闭集. （ × ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ √ ） 3. 相等的集合是对等的. （ √ ）
4. 称f?x?,g?x?在E上几乎处处相等是指使f?x??g?x?的x全体是可测集. （ √ ） 5. 可数个F?集的交是F?集. （ × ） 6. 可数个可测函数的和使可测函数. （ √ ） 7. 对等的集合是相等的. (× )
8. 称f?x?,g?x?在E上几乎处处相等是指使f?x??g?x?的x全体是零测集. （ × ） 9. 可数个G?集的并是G?集. （ √ ）
10. 零测集上的函数是可测函数. （ √ ） 11. 对等的集合不一定相等. （ √ ） 12. 称f?x?,g?x?在E上几乎处处相等是指使f?x??g?x?的x全体是零测集.（ √ ） 13. 可数个开集的交是开集 （ × ） 14. 可测函数不一定是连续函数. （ √ ） 15. 对等的集合有相同的基数. （ √ ）
16. 称f?x?,g?x?在E上几乎处处相等是指使f?x??g?x?的x全体的测度大于0 （ × ） 17. 可列个闭集的并集仍为闭集 （ × ） 18. 任何无限集均含有一个可列子集 （ √ ） 19. 设E为可测集，则一定存在G?集G，使E?G，且m?G\\E??0. （ √ ） 20. 设E为零测集，f?x?为E上的实函数，则f?x?不一定是E上的可测函数（ × ） 21. 设f?x?为可测集E上的非负可测函数，则f?x??L?E? （ × ） 22. 可列个开集的交集仍为开集 （× ） 23. 任何无限集均是可列集 （ × ） 24. 设E为可测集，则一定存在F?集F，使F?E，且m?E\\F??0. （ √ ） 25. 设E为零测集，则f?x?为E上的可测函数的充要条件是：?实数a都有E??x（ √ ）
26. 设f?x?为可测集E上的可测函数，则
f(x)?a??是可测集
?f?x?dx一定存在. （ × ）
E
五、简答题
1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.
答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A，A的幂集2的基数大于A的基数.
2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.
答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？
答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限
A
4. ?a,b?上单调函数与有界变差函数有什么关系？
答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 5. 简述集合对等的基本性质.
答：A?A；若A?B，则B?A；若A?B，且B?C，则A?C. 6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系.
答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成. 7. 可测集与开集、G?集有什么关系？
答：设E是可测集，则???0，?开集G，使G?E，使m?GE\\???，或? G?集G，使G?E，且m?G\\E??0.
8. ?a,b?上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系？
答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数. 9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.
??答：若A?B?B，又B?A?A，则A?B
10. 简述R中开集的结构.
答: 设G为R中开集，则G可表示成R中至多可数个互不相交的开区间的并. 11. 可测集与闭集、
111F?集有什么关系？
m?E\\F????F?F?Em?E\\F??0答：设E是可测集，则???0，?闭集F?E，使或 集，使.
12. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？
答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.
13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由.
答:连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数. 14. 简述R中开集的结构.
答：R中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并 15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？ 答：设fn?x?,f?x?是可测集E上的一列可测函数，那
当mE???时，fn?x??f?x?,a.e于E，必有fn?x??f?x?.
反之不成立，但不论mE???还是mE???，fn?x?存在子列fnk?x?，使fnk?x??f?x?,a.e于E.
当mE???时，fn?x??f?x?,a.e于E，由Egoroff定理可得fn?x?近一致收敛于f?x?，反之，无需条件
nn????mE???，结论也成立.
16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？
答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.
17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？