2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 2、平面问题分为 和 。 平面应力问题 平面应变问题
6、在弹性力学中规定，切应变以 时为正， 时为负，与 的正负号规定相适应。
直角变小 变大 切应力
7、小孔口应力集中现象中有两个特点：一是 ，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是 ，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。
孔附近的应力高度集中 , 应力集中的局部性
四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）?x?Ax?By，?y?Cx?Dy，?xy?Ex?Fy； （2）?x?A(x2?y2)，?y?B(x2?y2)，?xy?Cxy；
1
其中，A，B，C，D，E，F为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程
???x??yx??0??x?y??2?2?；（2）在区域内的相容方程????x2??y2??????y?xy?0??x??y??（3）在边界上的应力???x??y??0；????l?x?m?yx?s?f边界条件????m?y?l?xy?s?fx?s?；（4）对于多连体的位移单值条件。 y?s?（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2322、已知应力分量?x??Qxy2?C1x3，?y??3，Cxy???Cy?Cxy，体力不计，Q为2xy232常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程
???x??yx??0??x?y? ????y???xy?0??x??y得
??Qy2?3C1x2?3C2y2?C3x2?0 ??3Cxy?2Cxy?023?即
??3C1?C3?x2??Q?3C2?y2?0 ???3C2?2C3?xy?0由x，y的任意性，得
?3C1?C3?0??Q?3C2?0 ?3C?2C?03?2由此解得，C1?QQQ，C2??，C3? 6324、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否
可能存在。 （1）?x?Axy，?y?By3，?xy?C?Dy2；
2
（2）?x?Ay2，?y?Bx2y，?xy?Cxy； （3）?x?0，?y?0，?xy?Cxy； 其中，A，B，C，D为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
22?2?x??y??xy?2? 2?x?y?y?x将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。
（2）2A?2By?C（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 （3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则?x?0，?y?0，?xy?0（1分）。 5、证明应力函数??by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b?0）。
h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数??by2代入相容方程
?4??4??4??222?4?0 4?x?x?y?y可知，所给应力函数??by2能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
?2??2??2??0 ?x?2?2b，?y?2?0，?xy???x?x?y?y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
h上边，y??，l?0，m??1，fx??(?xy)h?0，fy??(?y)h?0；
y??y??222h下边，y?，l?0，m?1，fx?(?xy)h?0，fy?(?y)h?0；
y?y?222
3
l
左边，x??，l??1，m?0，fx??(?x)l??2b，fy??(?xy)l?0；
x??x??222l右边，x?，l?1，m?0，fx?(?x)l?2b，fy?(?xy)l?0。
x?x?222可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数??by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。 6、证明应力函数??axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a?0）。
h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数??axy代入相容方程
?4??4??4??222?4?0 4?x?x?y?y可知，所给应力函数??axy能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为
?2??2??2???a ?x?2?0，?y?2?0，?xy???x?x?y?y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四
个边上的面力分别为：
h上边，y??，l?0，m??1，fx??(?xy)h?a，fy??(?y)h?0；
y??y??222h下边，y?，l?0，m?1，fx?(?xy)h??a，fy?(?y)h?0；
y?y?222l左边，x??，l??1，m?0，fx??(?x)l?0，fy??(?xy)l?a；
x??x??222l右边，x?，l?1，m?0，fx?(?x)l?0，fy?(?xy)l??a。
x?x?222
4
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数??axy能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为?，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。
O x 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，
b 即设?x?0。由此可知
q ?g ?2??x?2?0
?y 将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式
??x,y??f1(x)y?f2(x)
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得
y d4f1(x)d4f2(x)y??0 44dxdx这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），
可见它的系数和自由项都应该等于零，即
d4f1(x)d4f2(x)?0， ?0 44dxdx这两个方程要求
f1(x)?Ax3?Bx2?Cx?I， f2(x)?Dx3?Ex2?Jx?K
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
??y(Ax3?Bx2?Cx)?Dx3?Ex2
对应应力分量为
?2??x?2?0
?y?2??y?2?y(6Ax?2B)?6Dx?2E??gy
?x?2??xy????3Ax2?2Bx?C
?x?y以上常数可以根据边界条件确定。
左边，x?0，l??1，m?0，沿y方向无面力，所以有
?(?xy)x?0?C?0
5