右边，x?b，l?1，m?0，沿y方向的面力为q，所以有
(?xy)x?b??3Ab2?2Bb?q
上边，y?0，l?0，m??1，没有水平面力，这就要求?xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
b?(?0b2xy)y?0dx?0
将?xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有
?(?3Ax?2Bx)dx??Ax?Bx0b032b0??Ab3?Bb2?0
而?(?xy)y?0?0dx?0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求?y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
?(?0by)y?0dx?0，
?(?0by)y?0xd?x0
将?y的表达式代入，则有
??由此可得
0b02(6Dx?2E)dx?3Dx2?2Exb0?3Db?2Eb?0
b32(6Dx?2E)xdx?2Dx3?Ex2b0?2Db?Eb?0
A??qqB?，，C?0，D?0，E?0 2bb应力分量为
?x?0, ?y?2q?1?3???gy, ?xy?q?3?2?
虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远
离y=0处这一结果应是适用的。
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为?，试用纯三次的应力函数求解。
O y?b?x?b?x?xb?b????x ?g y 解：纯三次的应力函数为
6
??ax3?bx2y?cxy2?dy3
相应的应力分量表达式为
?2??2??2???2bx?2cy ?x?2?xfx?2cx?6dy, ?y?2?yfy?6ax?2by??gy, ?xy???x?x?y?y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，
是否能满足应力边界条件。
上边，y?0，l?0，m??1，没有水平面力，所以有
?(?xy)y?0?2bx?0
对上端面的任意x值都应成立，可见
b?0
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
?(?y)y?0?6ax?0
对上端面的任意x值都应成立，可见
a?0
因此，应力分量可以简化为
?x?2cx?6dy，?y???gy，?xy??2cy
?????斜面，y?xtan?，l?cos?????????sin?，m?cos?????cos?，没有面力，所以有
??2?????l?x?m?yx?y?xtan??0 ???m??l??0yxyy?xtan???由第一个方程，得
??2cx?6dxtan??sin??2cxtan?cos???4cxsin??6dxtan?sin??0
对斜面的任意x值都应成立，这就要求
?4c?6dtan??0
由第二个方程，得
2cxtan?sin???gxtan?cos??2cxtan?sin???gxsin??0
对斜面的任意x值都应成立，这就要求
2ctan???g?0（1分）
由此解得
11c??gcot?（1分），d???gcot2? 23从而应力分量为
?x??gxcot??2?gycot2?, ?y???gy, ?xy???gycot?
7
h设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则tan??。根据力的平衡，固定端对梁的约束
l1反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为??glh。因此，所求?x在这部分边界上
21合成的主矢应为零，?xy应当合成为反力??glh。
2222?????dy??glcot??2?gycot?dy??glhcot???ghcot??0 x?0x?l?0hh112??dy???gycot?dy???ghcot????glh xyx?l?0022可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。
????hh10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角?，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为?1，液体的密度为?2，试求应力分量。
O x ??解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与?1g成正比（g是重力加速度）；另一
?2g??1g?部分由液体压力引起，应当与?2g成正比。此外，每一
y 部分还与?，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，
?1g和?2g的量纲是L-2MT-2，?是量纲一的
量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是A?1gx，B?1gy，C?2gx，D?2gy四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与?有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。
其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设
??ax3?bx2y?cxy2?dy3
相应的应力分量表达式为
?2??2??2???2bx?2cy ?x?2?xfx?2cx?6dy, ?y?2?yfy?6ax?2by??1gy, ?xy???x?x?y?y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，
是否能满足应力边界条件。
左面，x?0，l??1，m?0，作用有水平面力?2gy，所以有
?(?x)x?0??6dy??2gy
对左面的任意y值都应成立，可见
8
d???2g6
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
?(?xy)x?0?2cy?0
对左面的任意y值都应成立，可见
c?0
因此，应力分量可以简化为
?x???2gy，?y?6ax?2by??1gy，?xy??2bx
???斜面，x?ytan?，l?cos?，m?cos??????sin?，没有面力，所以有
?2????l?x?m?yx?x?ytan??0 ???m??l??0yxyx?ytan???由第一个方程，得
??2gycos??2bytan?sin??0
对斜面的任意y值都应成立，这就要求
??2gcos??2btan?sin??0
由第二个方程，得
??6aytan??2by??1gy?sin??2bytan?cos????6atan?sin??4bsin???1gsin??y?0 对斜面的任意x值都应成立，这就要求
?6atan??4b??1g?0
由此解得
111a??1gcot???2gcot3?，b??2gcot2? 632从而应力分量为
?x???2gy, ?y???1gcot??2?2gcot3??x???2gcot2???1g?y, ?xy???2gxcot2?
1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 ??Asin2??B?） （13分）
9
题三（1）图
解：?d很小，?M?Pd，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。
将应力函数?(r,?)代入，可求得应力分量：
?2???1?2?14???2Asin2?； ???2?0； ?r?r?rr2??2?rr
?????r?????1??12(2Acos2??B)
?r?r???r（1）????0r?0 边界条件：
?0, ?r???0r?0?0； ?????r?0?0, ?r????r?0?0
代入应力分量式，有
1(2A?B)?0 或 2A?B?0 （1）
r2（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：?r,?r?，和M = Pd
由该脱离体的平衡，得
????r2?r2?2d??M?0
将?r?代入并积分，有
???r2?21(2Acos2??B)r2d??M?0 2Asin2??B?2??2?M?0 得 B??M?0 （2）
联立式（1）、（2）求得：
B??M??Pd，A?Pd
??2?代入应力分量式，得
2??r???2Pdsin2?r；
???0； ?r?
22Pdsin????r2。
结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。
10