关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减
法的若干探讨
程浩
北京航空航天大学，电子信息工程学院，北京，100191
薛玉梅
北京航空航天大学，数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，
100191
摘要：本文对等价无穷小替换法则适用于加减法的情形做了 一些探究，并在最后以泰勒公式做了一些推广. 关键字：等价无穷小 替换 泰勒公式 一、引言
我们已经知道，等价无穷小替换法则适用于乘除法，即： 设函数f?x?,g?x?,h?x?在x0附近有定义，且f?x?~g?x??x?x0? 则：若limf?x?h?x??a，则limg?x?h?x??a；
x?x0x?x0若limx?x0h?x?h?x??a，则lim?a.（在x0附近f?x??0,g?x??0）
x?x0g?x?f?x?那么等价无穷小替换法则在何时适用于加减法呢？当然我们可以轻易推得： 若f?x?~g?x??x?x0?，则lim?f?x??h?x???lim?g?x??h?x??（若两极限存在）但
x?x0x?x0在参与一些较复杂的运算时就不一定成立了.如： 例1计算limx?0tanx?sinx
sin3xsinx?sinxtanx?sinxtanx?sinxcosx正解 lim ?lim?lim333x?0x?0x?0sinxxx12sinxsinx?1?cosx?21 ?lim ??32x?0xcosxx2错解 limtanx?sinxtanx?tanx?lim?0
x?0x?0sin3xsin3x究竟是什么原因导致了错误呢？ 原来若我们所求极限是
0型极限的话，我们轻易替换可能出现错误，不难验证若0分子分母函数的极限都存在且不等于0时，等价无穷小可以适用于加减.因此我
0们主要探讨型极限.我们只讨论减法运算.
0二、从无穷小阶量化角度得到的结论
笔者从无穷小量化的角度得到了如下结论：
定理1设f?x?~g?x??x?x0?，limh?x??0，limF?x??0，limx?x0x?x0x?x0f?x??h?x??a, F?x? （1）当f?x?和h?x??x?x0?不是等价无穷小量，则
limx?x0g?x??h?x?f?x??h?x??lim?a；
x?x0F?x?F?x? （2）当f?x?~h?x??x?x0?，则
x?x0limg?x??h?x?f?x??h?x??lim?a成立当且仅当f?x??g?x?是F?x?的高阶无穷小量. x?x0F?x?F?x?证明 以下设h?x?的阶数为m，f?x?的阶数为n，f?x??h?x?的阶数为p，F?x?的阶数为
q，
f?x??g?x?的阶数为s.
?f?x??h?x?g?x??h?x??g?x??h?x?分析：lim?a等价于lim???0即等价于?x?x0x?x0F?x?F?x???F?x?f?x??g?x?为无穷小，等价于f?x??g?x?为F?x?的高阶无穷小.在开篇的例子中由于
F?x?tanx?sinx与sin3x为等价无穷小，故出现了错误（两者均为3阶无穷小量）.
现在我们来更深入地探讨这个问题.由于limx?x0f?x??h?x??a, 若a?0，则f?x??h?x?为 F?x?若a?0，则f?x??h?x?为 F?x?的等价无穷小.这就产生了两个问题：F?x?的高阶无穷小；
（1） f?x??h?x?的阶数与f?x?和h?x?的阶数有何关系；（2）f?x??g?x?的阶数与f?x?和g?x?的阶数有何关系.
对问题（1），我们可证下面命题：
定理2若m?n，则p?min?m,n?；若m?n，则p?m. 证明 若m?n，不妨设m?n.则由题可设limh?x?f?x??c?0,lim?d?0，则
x?x0xnxmx?x0x?x0limf?x??h?x?f?x??h?x?m?n??lim?lim?m?x??0?d?d?0，故p?min?m,n?得证. x?x0xnx?x0xn?x?f?x??h?x?f?x?h?x??lim?lim?d?c mmmx?xx?x00xxx若m?n，limx?x0m
若c?d，则p?m；若c?d，则f?x??h?x?是x的高阶无穷小，故p?m，命题后
半部分得证.定理2得证
由定理2我们还可以解决问题（2）.我们有如下定理：
定理3(1)若m?n，则q?s，这样f?x??g?x?必为F?x?的高阶无穷小；
(2)若m?n，则
当c?d则q?s，f?x??g?x?为F?x?的高阶无穷小；
当c?d时，无法推知f?x??g?x?和F?x?的阶数之间的关系.
证明
由于f?x?~g?x??x?x0?f?x?xnf?x?xn，则limn??lim?lim?1，进而
x?x0xg?x?x?x0xnx?x0g?x?x?x0limf?x?g?x??lim，由上面所证命题可知f?x??g?x?的阶数s?n. nnx?x0xx这样，若m?n，则p?n，而n?s,q?p,则q?s，这样f?x??g?x?必为F?x?的高阶无穷小；若m?n，则当c?d时，p?n，n?s,q?p，则q?s也成立，当c?d时，则无法推得.定理3得证.
由分析结合定理2、3知定理1成立.
定理4设f?x?~g?x??x?x0?，limh?x??0，limx?x0x?x0F?x??a,
f?x??h?x? （1）当f?x?和h?x??x?x0?不是等价无穷小量，则
limx?x0F?x?F?x??lim?a；
x?x0f?x??h?x?g?x??h?x? （2）当f?x?~h?x??x?x0?，则
x?x0limF?x?F?x??lim?a成立当且仅当f?x??g?x?是F?x?的高阶无穷小量. x?x0g?x??h?x?f?x??h?x?f?x??h?x?1?，归结为类型一，由定理1知定理4成立；
F?x?a证明若a?0,则limx?x0若a?0，则F?x?是f?x??h?x?的高阶无穷小，即q?p.而f?x??h?x?和g?x??h?x?不一定相同，故limx?x0F?x??a仍等价于f?x??g?x?是F?x?的高阶无穷小量. g?x??h?x?定理4得证.
三、应用泰勒公式进行推广
上述结论实际应用起来多有不便，为此我们应用泰勒公式进一步深入推广这个结论.首先我们叙述一下带Peano型余项的泰勒公式.
定理5[1]
设f?x?在x?x0处n阶可导，则
f?x???k?0nf?k??x0??x?x0?k?o?x?x0?n ?x?x0? k!??通常记 Tn?f,x0;x???k?0nf?k??x0??x?x0?k,Rn?x??o?x?x0?n k!??前者称为f?x?在x?x0处的n次泰勒多项式， ，后者为Peano型余项.
分析
泰勒公式的实质就是用多项式作为f?x?的等价无穷小，和结论一相比，g?x?就是泰勒多项式，而f?x??g?x?就是Peano型余项Rn?x??o?x?x0?，而结论一的关键是判断
n??f?x??h?x?是否是F?x?的高阶无穷小量，只要保证f?x??h?x?是F?x?的高阶无穷小量，
等价无穷小替换法则就能适用于加减，而有了泰勒公式，我们就有了解决办法，我们只要使Peano型余项成为F?x?的高阶无穷小量即可，而这我们显然是可以做到的.进而，我们得到定理1的推广形式：
定理6设f?x??T1n?f,x0;x??R1n?x?,h?x??T2n?f,x0;x??R2n?x?，其中T1n?f,x0;x?，
T1n?f,x0;x?分别是f?x?，h?x?的n阶泰勒展开，R1n?x?和R2n?x?分别是f?x?，h?x?的
余项.若limx?x0f?x??h?x?存在，则
g?x?