显然有交通流量守恒可知，在时间t内通过界面S的车辆数N可以表示如下：
N?ur1k1t?ur2k2t
即：(u1?w)k1?(u2?w)k2
整理得：u2k2?u1k1?w(k2?k1)
由车流量基本模型q?ku可知：q?k1u1，q?k2u2 代入上式，可以得到：
q?q w?21k2?k1
5.3.2模型Ⅱ 路段通行能力与自由流车速和堵塞密度模型
由交通流理论可知，交通量(q)、速度(u)和密度(k)三参数之间的关系为： q?ku (1)
其中，q为路段的车流量，k为路段车流密度，u为路段行车速度。
q当某一段公路上的交通量逐渐增大, 达到?1时,道路上的车辆将开始产生拥挤，此
CK时所计算到的交通密度称为最大密度, 用j来表示，道路的交通堵塞密度可以由道路
K的基本信息计算得到[2]。而j所对应的交通量就是路段通行能力C。此时如果该路段的车辆仍不断增加, 将最终导致交通阻塞，从而使速度最后达到零，整个路段道路( 车道) 被车辆全部占据，我们称此时道路上的交通密度为交通阻塞密度(又称为最大密度Kmax)对应的交通量显然为零。理论上通过该路段的时间为无限长， 这种规律关系见下图：
又由速度-密度的线性关系表达式可知
9
u(k)?uf?ufkmaxk (2)
Kmax其中，uf为自由流行驶时的行车速度，
为路段拥堵到流量为0时的车流密度，其
它的同式(1)。
由 (1) 式和(2)式可知路段流量和路段车流密度之间的关系为
uf2q(k)?ufk?k (3)
kmaxdq11上述表达式令?0,可以得知，当 u?uf并且 k?kmax时，式(3)取最大值，我们
dk22令最大值为C，则有
1C?ufkmax (4)
45.3.3模型Ⅲ 线形u一k模型下的交通波方程
对于车辆密度较大的交通拥挤状况，速度一密度模型一般采用格林伯(Greenberg)模型（即对数模型）;对于较小密度的交通状况，速度一密度模型一般采用安德伍德(Underwood)模型（即指数模型）;而对于一般交通流情况，都采用著名的格林希尔茨(Greenshields)模型，尽管该模型在研究高密度和低密度交通流情况时存在一些偏差，但其形式简单，便于计算，应用面广泛，因此在本文中速度——密度模型采用格林希尔茨模型。
根据格林希尔茨的车流速度一密度线形关系，即 u?uf(1?k/kj) (5)
其中u为车速(km/h )，uf为自由流车速(km/h)，k为事故点上游车流的车流密度(veh/km )，kj为堵塞密度(veh/km)
q?uf(1?k/kj) (6)
将式(4-5)和式(4-6)代入到交通波理论式(4)中，可以得到交通波的另一种形式
?k1?k2?? （7） ??uf?1??kj???5.3.4模型Ⅳ 停车波模型
当发生事故造成路段封闭断流，车流就从高速度低密度状态变成零速度高密度状态，即停车状态，形成集结波，这种集结波也可称为停车波，停车波沿停车队列的尾部向上游延伸的速度就是停车波的波速，根据交通波理论中波速的基本公式，代入k2?kj，到式(7)中，容易得到事故地点前停车波的波速为
k?stop??uf1 （8）
kj根据式(5)可得到
uuf? （9）
1?k/kj代入上式的停车波的波速为
q?stop??kj?k （10）
10
5.3.5模型Ⅴ 道路交通阻抗的排队论模型
对一般交通网络的路段，假定车流到达服从参数为?的泊松分布，行驶时间服从参数为1/?的负指数分布，路段车流的最大容量为c，该路段的基本通行时间为t1，则车辆在该路段行驶的时间可分为两部分：一部分是由于拥挤造成的延误，另一部分是基本通行时间[3]。经推导可得到车辆经过该路段的平均时间公式：
??t1 （11） c???将流量表达式f??/?带入其中，可得：
T??f?t1 （12） c?f其中，c为路段的最大通行能力，t1为基本通行时间，?为比例因子，且?>0。 5.3.6模型的求解 T??在交通接警时间T内，计算车辆排队长度|?|*T的大小与交通事故点距离上游交叉口的长度x的比较，其中长度x由通过城市地理信息平台GIS得到。 若|?|*T1 若|?|*T1>x，则说明在接警时间T1内，车流排队延伸至上游交叉口(若本模型作交叉口发生“多米诺”现象处理，即整个交叉口产生排队现象)，计算出排队至交叉口的耗 xt?|?|，在剩余时间T1?t内交通波由该交叉口向各个方向延伸开去，波速为各个路时 口的停止波速?stop??q, 其中q为该交叉口某一进口路段交通流量，k为该进口路kj?k段的车流密度，皆可以通过交通检测系统监测得到; kj为该进口路段的交通堵塞密度，由道路的基本资料可以计算得到，向各个方向产生的排队长度为(T1?t).?stop，若排队延伸至下个交叉口，重复上面计算过程，直到后面进行交通事故处理时间T2内的车辆排队计算。 在交通接警时间T2内，若在时间T1内排队没有到达上游交叉口，则在排队长度?T1的基础上车辆继续排队，此时的交通波为停止波，波速为?stop??q ,向上游交叉口延kj?k伸过去，遇到交叉口则产生“多米诺”现象，重新计算交叉口各个方向的停车波速?stop，重复前面的计算步骤；若在时间T1内排队到上游交叉口，则不改变波速，把时间T2直接加到前面T1时间内交通排队时间上。 若交通事故发生在交叉口，则直接在交叉口产生四个方向的停止波，波速由交通波公 q???式stop可以得到，在T1?T2时间内的向四周产生的车辆排队范围的计算方法同 kj?k前的重复循环计算方法。交通事故在时间内的影响范围为上述计算产生停止波的交叉口和越过交叉口的路段排队长度。 六、模型的实现与评价 6.1模型的实现 11 6.1.1模型的推广 将问题3的模型推广到问题4中，根据交通检测系统，监测事故点的通行能力、交通流速度、密度和上游的交通量、速度、密度等交通数据，以及路网的交通流数据，将得到的事故点交通数据带入交通波公式，计算出由交通事故导致的交通波速度w。 在交通事故的接警时间T1内，交通波的速度 k?kw?uf(1?12) kj其中，uf为事故路段的自由流速度，即该路段的设计车速，可以通过城市地理信息平台GIS得到道路基本资料；k1为事故段的交通密度,由交通检测系统监测得到；k2为事故点上游的交通密度，同样也是通过交通检测系统监测得到；kj为该路段的交通堵塞密度,由道路的基本资料可以计算得到。 又由假设，事故发生时车辆初始排列长度为零，且事故持续不撤离。 在交通事故持续时间T内，交通流波阵面S向上游移动的距离为w.T 6.1.2模型的求解 上游路口长l0 假设，车辆的平均长度加上车车间距为d 1000故，kj?(pcu/km) d上游车流量为q， 交通事故段的车流量为p， qk1? ufk?p ufl?w.T 代入，求得T?330s 故而，若交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h，则从事故发生开始，经过T?330s的时间，车辆排队长度将到达上游路口。 6.2模型的评价 6.2.1模型的优点 本文的模型建立上有不少创新之处，其优点有： （1）该模型结合了道路的实际通行状况与理论依据，充分的综合了多种相关道路交通的数学模型，因而具有较高的说服力与准确性。 （2）适用于较多种类的车道占用情况，具有形式简单，便于计算，应用面广泛等优点。 （3）考虑到题中涉及问题的特殊性，本文主要采用了交通波理论模型和排队论理论，而不是传统的统计模型，分析更有据，预测更精准。 （4）本题中用到的数据全部来自于视频一和视频二中的实际情况，数据真实可靠。 6.2.2模型的不足 尽管该题在运用和建立模型时充分的考虑了实际的情况并且根据实际情况对模型进行了改动，但是依然存在些许不足之处： 12 （1）模型处理时虽然形式简单，便于计算，而且也选取了真实可靠的数据，但是道路交通问题并不具有普遍性，此模型得出的结论只能反映车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的大致关系。 （2）由于缺少其他的路况资料和数据，本文无法进行模型的检验，模型选取的准确性和精确性无法确保。 6.2.3模型的优化 在模型的优化与改进部分，如果有更加充足的数据，可以通过使用SPSS软件对交通情况进行线性回归分析，而不是像本文中对于模型的结论与求解大多是通过对于简单数据图像的分析得来的。 七、参考文献 [1]臧 华，彭国雄. 城市快速道路异常时间下路段行程时间的研究. 交通运输系统工程与信息，2003:3（2）：57—59 [2]余 斌. 道路交通事故的影响范围与处理资源调动研究. 2006 [3]段保群，奚宏生，周亚平. 排队系统性能分析及Maekov控制过程[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2004. 八、附录 8.1附录—表格 附表 1. 附表 2. 13