第二部分 函数图象中点的存在性问题
2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2015年呼和浩特市中考第25题
已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过坐标原点，且当＜0时，y随x的增大而减小。 （1）求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B， DC⊥x轴于点C.
①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．
动感体验
请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．
思路点拨
1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式． 2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．
满分解答
（1）因为抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋m2－1经过原点，所以m2－1＝0．解得m＝±1。 如图1，当m＝1时，抛物线y＝x2＋x的对称轴在y轴左侧，不符合当x＜0时，y随x的增大而减小。
当m＝－1时，抛物线y＝x2－3x符合条件。
图1 图2 图3
（2）①当BC＝1时，矩形ABCD的周长为6。
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②如图2，抛物线y＝x2－3x的对称轴为直线x?3，如果点A在对称轴的左侧，那么233?a?xD?。 22解得xD?3?a。所以AD＝3－2a。
当x＝a时，y＝x2－3x＝a2－3a。所以AB＝3a－a2。
所以L＝矩形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2(3a－a2＋3－2a)＝?2(a?)2?1213。 211315时，L的最大值为。此时点A的坐标为(,?)。 222455如图3，根据对称性，点A的坐标也可以是(,?)。
24因此当a?考点伸展
第（2）①题的思路是：如图2，抛物线的对称轴是直线x?坐标为(1, 0)，此时点A的横坐标为1，可以求得AB＝2。
第（2）②题中，L随a变化的图像如图4所示。
3，当BC＝1时，点B的2
图4
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例2 2014年上海市静安区中考模拟第24题
已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线
段OC的长为y．
（1）求AB的长；
（2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．
图1
13动感体验
请打开几何画板文件名“14静安24”，拖动圆心P运动，可以体验到，△OAB与△PAC保持相似，∠OCA的大小保持不变．两圆外切和内切，各存在一次∠OPC＝∠OCA．从图像中可以体验到，当两圆外切时，y随x的增大而增大．
思路点拨
1．第（1）题求弦AB的长，自然想到垂径定理或三线合一．
2．第（2）题构造直角三角形，使得y成为斜边长，再用勾股定理．
3．第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具体分析． 4．不论两圆外切还是内切，两个等腰△OAB与△PAC相似．
满分解答
（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE． 在Rt△AOE中，cos∠BAO＝
AE1?，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2． AO3（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H． 由△OAB∽△PAC，得
AOAP3x2．所以?．所以AC?x． ?ABAC2AC313在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得
1322． ??AHACCH所以AH?122242AC?x，CH?AC?x． 3939在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得y2?(4222x)?(3?x)2． 99 3 / 20
整理，得y?3624x?x?9．定义域为x＞0． 813
图2 图3
（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．
OAOC．所以OC2?OA?OP． ?OCOP36241515解方程x?x?9?3(3?x)，得x?．此时⊙P的半径为．
81344因此
②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，AC?如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．
2x． 3AOAC．因此AC2?AO?AP． ?ACAP22727解方程(x)2?3x，得x?．此时⊙P的半径为．
344所以
图4 图5 图6
考点伸展
第（3）题②也可以这样思考：
如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．
这样，△CAO的三边长为
9927279、、3．△PAC的三边长为、、． 22442
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例3 2013年宁波市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．
①求证：∠BDE＝∠ADP；
②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否
存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
答案
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4． （2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；
②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A， 因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．
所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到y?2x．
图2 图3 图4
（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：
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