例2 2014年黄冈市中考第25题
如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标； （2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．
思路点拨
1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．
2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．
满分解答
（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．
于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．
11144解得a?．所以y?x(x?4)?(x?2)2?．顶点M的坐标为(2,?)．
33333（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．
（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)． 111将O′(2t,－2t)代入y?x(x?4)，得?2t??2t(2t?4)．解得t?．
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11将Q′(3t,－t)代入y?x(x?4)，得?t??3t(3t?4)．解得t＝1．
33因此，当t?图3）．
1时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如2
图2 图3
（4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2． ②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2．
1此时S＝(2t?2t?2)?1?2t?1．
2
图4 图5
③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA． 此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．
1111所以S＝(3?2)?1?(4?2t)2??2t2?8t?．
222
图6
考点伸展
在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？ 如图4，l?(2?22)t．如图5，l?4t?2?22． 如图6，l?(4?22)t?52?2．
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例3 2013年菏泽市中考第21题
如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y??的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y?3x?3412x?bx?c的图像上，且该二次函数图8像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．
思路点拨
1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．
2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来． 3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．
满分解答
（1）由y??3x?3，得A(0,3)，C(4,0)． 4由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8． 因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)． 将B(－4,0)、D(8,3)分别代入y?12?2?4b?c?0, x?bx?c，得?8?8?8b?c?3.解得b??111，c＝－3．所以该二次函数的解析式为y?x2?x?3． 484（2）①设点P、Q运动的时间为t．
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如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝当PQ⊥AC时，
4． 5AQ45?t425． ?．所以?．解得AP?t?AP5t59
图2 图3
②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
111333AP?QH?AP?AQsin?PAQ?t(5?t)???t2?t， 222510211S△ACD＝AD?OA??8?3?12，
22333581所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝12?(?t2?t)?(t?)2?．
1021028581所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．
28由于S△APQ＝
考点伸展
如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？”
除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况． 这时
t420AP4（如图4所示）． ?．解得t??，所以
5?t59AQ5
图4
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例4 2012年广东省中考第22题
如图1，抛物线y?123x?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、22AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．
思路点拨
1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．
2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
满分解答
1231x?x?9?(x?3)(x?6)，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)． 222所以AB＝9，OC＝9．
（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．
SAE2． 所以?ADE?()S?ACBAB（1）由y?而S?ACB? 15 / 20
181AB?OC?，AE＝m， 22