2006年硕士研究生入学考试（数学二）试题及答案解析
一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线
y?1x?4sinx 的水平渐近线方程为 y?.
55x?2cosx【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.
4sinxx?4sinxx?1.
【详解】lim?limx??5x?2cosxx??2cosx55?x1 故曲线的水平渐近线方程为 y?.
51?（2）设函数
?1x21?3?0sintdt,x?0在x?0处连续，则a?. f(x)??x3?a, x?0?【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可. 【详解】由题设知，函数
f(x)在 x?0处连续，则
limf(x)?f(0)?a，
x?0?又因为 limf(x)?limx?0x?0x0sint2dtx3sinx21?lim?. x?03x23所以
a?1. 3（3） 广义积分
???01xdx?(1?x2)22.
【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.
【详解】
???02bd(1+x)xdx111?lim??lim22(1?x2)22b???0(1?x)2b??1+xb021111??lim?2?.
2b??1+b22（4） 微分方程
y??y(1?x)?x的通解是y?Cxe(x?0). x【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】原方程等价为
dy?1????1?dx， y?x?两边积分得
lny?lnx?x?C1，整理得
（5）设函数
C?x.（C?e1） y?Cexdyx?0??e. dx【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x求导（注意y是x的函数），一阶微分形式不变性
y?y(x)由方程y?1?xey确定，则
和隐函数存在定理求解.
【详解】方法一：方程两边对x求导，得
y???ey?xy?ey.
又由原方程知，x?0时,y方法二：方程两边微分，得
ydy??exd?xy?1.代入上式得
dydxx?0?y?x?0??e.
x?0,y?1，得ey，代入ddydxx?0??e.
方法三：令F(x,y)?y?1?xey，则
y?1e
?F?xx?0y,?x??F?ey?0,1,?yx?y??0?,?1x1y?ex?y??，0 ,11故
dydxx?0?F???x?F?yx?0,y?1??e.
x?0,y?1（6）设矩阵A???21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
??12?
B? 2 .
【分析】将矩阵方程改写为AX?B或XA?B或AXB?C的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行
计算即可.
【详解】由题设，有
B(A?E)?2E
于是有
BA?E?4，而
11A?E??2，所以B?2.
?11二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数
y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，
?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则
(A)
0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C)
?y?dy?0.
(D)
dy??y?0 .
[ Ａ ]
【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由加，曲线
f?(x)?0,f??(x)?0知，函数f(x)单调增
y?f(x)凹向，作函数y?f(x)的图形如右图所示，?0时，
显然当?x?y?dy?f?(x0)dx?f?(x0)?x?0，故应选(Ａ).
（8）设
f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一
类间断点，则
?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数 （D）在x（A）连续的奇函数. （C）在x?0间断的奇函数
x?0间断的偶函数. [ B ]
【分析】 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数
f(x)去计算F(x)??f(t)dt，然后选择正确选项.
0【详解】取
?x,x?0. f(x)???1,x?0?0时，F(x)??f(t)dt?limtdt???0xx则当x??0?11lim??x2??2??x2， 2??02而F(0)?0?limF(x)，所以F(x)为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.
x?0（9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1.
1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1.
[ C ]
（D）ln2?1.
（C）?ln2?1.
【分析】题设条件h(x)?e【详解】h(x)?e
1?g(x)1?g(x)两边对x求导,再令x?1即可.
两边对x求导,得
h?(x)?e1?g(x)g?(x).
?1，又h?(1)?1,g?(1)?2，可得
上式中令x1?h?(1)?e1?g(1)g?(1)?2e1?g(1)?g(1)??ln2?1，故选（C）.
（10）函数
y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是 y???y??2y?3xex.
（B）
（A）
y???y??2y?3ex.
（C）
y???y??2y?3xex.
（D）
y???y??2y?3ex. [ D ]
【分析】 本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.
【详解】 由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
?1?1,?2??2.
则对应的齐次微分方程的特征方程为
(??1)(??2)?0,即?2???2?0.
故对应的齐次微分方程为 又
y???y??2y?0.
y*?xex为原微分方程的一个特解，而??1为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项
f(x)?Cex（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）
?1应具有形式
（11）设
f(x,y)为连续函数，则?4d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
00（Ａ）
?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?220dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2yf(x,y)dx.
(D)
?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ Ｃ ]
【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.
【详解】 由题设可知积分区域D如右图所示，显然是Y型域，则
原式?故选（Ｃ）. （12）设
?220dy?1?y2yf(x,y)dx.
f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知
(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若(B) 若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
[ Ｄ ]
(C) 若(D) 若
【分析】 利用拉格朗日函数F(x,y,?)?的参数?的值）取到极值的必要条件即可.
【详解】 作拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)在(x0,y0,?0)（?0是对应x0,y0f(x,y)???(x,y)，并记对应x0,y0的参数?的值为
?0，则
?F?(x,y,?)?0?f?(x,y)????(x,y)?0?x000?x000x00， 即? . ???????Fy(x0,y0,?0)?0?fy(x0,y0)??0?y(x0,y0)?0
消去?0，得
fx?(x)?y0,y0??(xy0,?0)yf(??,0yx)0x0?(xy, 0,)0整理得
fx?(x0,y0)?1?y?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x?(x0,y0).（因为?y?(x,y)?0），
若
fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故选（Ｄ）.
A为m?n矩阵，下列选项正确的是
（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，
(A) (B)
若?1,?2,?,?s线性相关，则若?1,?2,?,?s线性相关，则
A?1,A?2,?,A?s线性相关. A?1,A?2,?,A?s线性无关.
(C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则
A?1,A?2,?,A?s线性相关.
A?1,A?2,?,A?s线性无关.
[ A ] 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记B?(?1,?2,?,?s)，则(A?1,A?2,?,A?s)?所以，若向量组
AB.
r(AB)?r(B)?s向量组，
?1,?2,?,?s线性相关，则r(B)?s，从而
A?1,A?2,?,A?s也线性相关，故应选(Ａ).
（14）设
A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记
?110???P??010?，则
?001???（Ａ）C?P?1AP.
（Ｂ）C?PAP?1.