设L的方程x则S3?g(y)，
????g(y)?(y?1)???dy 0?由参数方程可得
t?2?4?y，即x?2?4?y由于（2，3）在L上，则x?3??2?1.
g(y)?2?4?y??2?1?9?y?24?y.于是
S???9?y?44?y?(y?1)?dy
0????(10?2y)dy?4?0330??4?ydy
30??10y?y（22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
2?3038??4?y?23?7. 3?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1 ?ax?x?3x?bx?134?12有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵
A的秩r?A??2；
（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解.
【分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II）利用初等变换求矩阵
A的秩确定参数
a,b，然后解方程组.
【详解】 （I） 设?1,?2,?3是方程组
Ax??的3个线性无关的解，其中
?1111???1?????A??435?1?,????1?.
?a13b??1?????则有 则
A(?1??2)?0,A(?1??3)?0.
?1??2,?1??3是对应齐次线性方程组Ax?0的解，且线性无关.（否则，易推出?1,?2,?3n?r(A)?2，即4?r(A)?2?r(A)?2.
线性相关，矛盾）.
所以
又矩阵
A中有一个2阶子式
11??1?0，所以r(A)?2.
43因此
r(A)?2.
（II） 因为
111??1111?1111??1???????A??435?1???0?11?5???0?11?5?.
?a13b??01?a3?ab?a??004?2ab?4a?5??????? 又r(A)?2，则
?4?2a?0?a?2. ???b?4a?5?0b??3??对原方程组的增广矩阵
A施行初等行变换，
?1111?1??102?42?????A??435?1?1???01?15?3?，
?213?31??00000?????故原方程组与下面的方程组同解.
x?2?x1??2x3?44. ?43?x2?x3?5x?选x3,x4为自由变量，则
?x1??2x3?4x4?2?x?x?5x?3?234. ??x3?x3??x4?x4 故所求通解为
??2??4??2???????1?5?3x?k1???k2?????，k1,k2为任意常数.
?1??0??0???????0???1??0?A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?TT（23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵组
是线性方程
Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.
A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；
由齐次线性方程组Ax?0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A的
【分析】 由矩阵
线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q.
【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵
A的各行元素之和均为3，所以
?1???A?1????1?????3????3???3?1????3，??1 ??1???3是矩阵A的特征值，??(1,1,1)T是对应的特征向量.
?则由特征值和特征向量的定义知，
对应??3的全部特征向量为k?，其中k为不为零的常数.
又由题设知 所以?A?1?0,A?2?0，即A?1?0??1,A?2?0??2，而且?1,?2线性无关，
?0是矩阵A的二重特征值，?1,?2是其对应的特征向量，对应??0的全部特征向量为
k1?1?k2?2，其中k1,k2为不全为零的常数.
(Ⅱ) 因为取
A是实对称矩阵，所以?与?1,?2正交，所以只需将?1,?2正交.
?1??1，
?1???0???1??2????,????3????2??2?21?1???1?2?0??. ?????,?6?11??1???1??1????????2?
再将?,?1,?2单位化，得
??????1????????1??1??1?????3?6???2????1?2??2?1??,?2?????,?3????0?， 3??1?12?6???1??1????2????3??6?
令
Q???1,?2,?3?，则Q?1?QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得
?3????.
QTAQ??0???0???