19．解:由函数f（x）是偶函数,可知f（x）=f（-x）,
∴log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx…………2分
14x?1即log4?x=-2kx,log44x=-2kx, ∴x=-2kx对一切恒成立. ∴k=-…………6分
24?1114x?1x
（2）由m=f（x）=log4（4+1）- x, ∴m=log4=log（2+）.…………8分 4
22x2x
x
∵2x+
11≥2, ∴m≥…………10分x22
故要使方程f（x）-m=0有解,m的取值范围为m≥
1…………12分 220、解： (1)设f（x）＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，故f（x）＝ax2＋bx＋1．
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x． 即2ax＋a＋b＝2x，所以??2a?2?a?1， ,??a?b?0b??1??∴f(x)＝x2－x＋1．
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成
3
立．设g(x)＝ x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝ ，所以g(x) 在[－1，1]上递减．故
2只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1． 21（1）
a??1时,?f(x)?2x?1 值域为[22,??) x（2）f?(x)?2?a∴
1?0在（0，1]上恒成立 2xa2??2a??2x，∴ ，∴a??2 2x（3）a?0时，f(x)无最小值，当x?1时，f(x)max?2?a 当?2?a?0时，f(x)无最大值，当x??2a时，f(x)min?2?2a 2当a??2时，f(x)无最大值，当x?1时，f(x)min?2?a 22解：(1)当t＝4时，
(2x＋2)2
F(x)＝g(x)－f(x)＝loga，x∈[1,2]，
x
(2x＋2)21
令h(x)＝＝4(x＋＋2)，x∈[1,2]，则
xx14(x－1)(x＋1)
h′(x)＝4(1－2)＝>0，
xx2∴h(x)在[1,2]上是单调增函数， ∴h(x)min＝16，h(x)max＝18. 当01(舍去)； 当a>1时，有F(x)min＝loga16， 令loga16＝2求得a＝4>1.∴a＝4.
(2)当0
即当0
＝－2(x－)2＋，
48∵x∈[1,2]，∴x∈[1，2]. ∴u(x)max＝u(1)＝1.
∴实数t的取值范围为t≥1.