中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题
例1：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积；
(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？
B (3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？
C
A 例2: ()已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y， （1）写出y与x的关系式
(2)求当y＝
1时，x的值等于多少？ 3
例3：如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）
A．32 B．18 C．16 D．10 y B 3例4：直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O4点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S?坐标．
P O Q A x 48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5例5：已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
1 / 8
C Q P A M
N
B
，AD?6厘米，DC?4厘米，BC的坡度例6：如图（3），在梯形ABCD中，DC∥AB，?A?90°i?3∶4，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿
B?C?D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，D另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒． （1）求边BC的长；
（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；
A（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，
PECQB
图（3）
y有最大值？最大值是多少？
二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
例7：如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的A 中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
B P C D Q ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
例8：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
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例9：（如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)． (1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ (2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？
A P D D A P
O O
C B C Q Q B
例10. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm(x?0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． P N A D 练习1
1．正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm．
B
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子停止时∠POQ的变化范围；
O
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．
A
Q D
A B P
O Q
D P
C
到运动
C
2B Q
M
（第25题）
C
12[解] （1）当0≤x≤1时，AP?2x，AQ?x，y?AQ?AP?x，
2即y?x．
3 / 8
23 2
y
1
O 1
2 x
1S正方形ABCD时，橡皮筋刚好触及钉子， 2114BP?2x?2，AQ?x，?2x?2?x??2??22，?x?．
2234（3）当1≤x≤时，AB?2，
3（2）当S四边形ABPQ?y
PB?2x?2，AQ?x，
3 2 1
?y?AQ?BPx?2x?2?AB??2?3x?2， 22即y?3x?2．
作OE⊥AB，E为垂足．
4当≤x≤2时，BP?2x?2，AQ?x，OE?1， 31?2x?21?x33?1??1?x，即y?x． y?S梯形BEOP?S梯形OEAQ?2222 90?≤∠POQ≤180?或180?≤∠POQ≤270? （4）如图所示：
O
1 43
2 x
2.如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D. (1)求直线AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝
43,求点C的坐标; 3(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的 三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] （1）直线AB解析式为：y=?（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，?3x+3． 333x+3），那么OD＝x，CD＝?x+3． 3332x?3． 6∴S梯形OBCD＝
?OB?CD??CD＝?2由题意：?3243x?3 ＝，解得x1?2,x2?4（舍去） 633） 3133433OA?OB?,S梯形OBCD＝，∴S?ACD?． 2236 4 / 8
∴ Ｃ（２，
方法二：∵ S?AOB?
由OA=3OB，得∠BAO＝30°，AD=3CD．
∴ S?ACD＝
1333CD×AD＝．可得CD＝． CD2＝2263∴ AD=１，OD＝２．∴C（２，
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
3）． 3 ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，
∴P1（3，
3）． 33OB=1． 3 ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=
∴P2（1，3）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30° 过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝
133OB＝，OP＝3BP＝． 222∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝
1333333OP＝；PM＝3OM＝．∴P3（，）． 24444方法二：设Ｐ（x ，?33x+3），得OM＝x ，PM＝?x+3 33由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM==
PM=OM?3x?3OA3 ，tan∠ABOC==3．
xOB∴?33333x+3＝3x，解得x＝．此时，P3（，）．
4434④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°． ∴ PM＝
33OM＝． 3433，）（由对称性也可得到点P4的坐标）． 44 5 / 8
∴ P4（