当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求. 综合得，符合条件的点有四个，分别是：
P1（3，
333333），P2（1，3），P3（，），P4（，）．
44344
3．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D． (1)求点B的坐标；
(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标； (3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠BAQ＝∠COA＝60° 在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=23 AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B在第一象限内, ∴点B的的坐标为(5, 23)
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
BD5=，求这时点P的坐标。 AB8此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上, ∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P的坐标为(-4,0) ∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP ∴
OP?OC ADAP 6 / 8
∵BD?5
8∴BD?5AB?5,
82AD=AB-BD=4-5=3
22AP=OA-OP=7-OP ∴
ABOP?4 37?OP2得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
4． 已知：如图①，在RtΔABC中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速
度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，∴ P B AQAP?，∴ABAC2t5?t10?，∴t?． 457（2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC， ∴ A Q 图① H C PHAP1133PH5?t3??，∴，∴PH?3?t，∴y??AQ?PH??2t?(3?t)??t2?3t． 52255BCAB53（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．∴(5?t)?2t?t?3?(4?2t)， 解得：t?1． 若PQ把△ABC面积平分，则S?APQ?S?ABC， 即－t2＋3t=3． ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． （4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N， 若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC． ∵PM⊥AC于M，∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． B P N 1235 7 / 8 A Q M C ∴ PNBPPNt??， ， ∴ACAB454t4t， ∴QM?CM?， 55∴PN?∴ 4410t?t?2t?4，解得：t?． 55910 ∴当t?时，四边形PQP ′ C 是菱形． 9 此时PM?3?t?35748， CM?t?， 35922在Rt△PMC中，PC?PM?CM?4964??981505， 9∴菱形PQP ′ C边长为 505． 9 8 / 8