特值法解题(2)

5.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a

解析:由已知得当-2≤x≤1时,f(x)=x-2, 当1

∵f(x)=x-2,f(x)=x-2在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.

故选C.

6.(2013山东聊城模拟)设函数y=f(x)在R上有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=

若函数f(x)=

则函数(x)的单调递减区间为( D )

3

2

(A)(-∞,-1] (B)(-∞,0] (C)[0,+∞) (D)[1,+∞) 解析:(x)=

[来源:学+科+网]=

如图所示,函数(x)在区间[1,+∞)上单调递减.故选D.

7.(2013年高考北京卷)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= . 解析:∵f(x)=lg x,f(ab)=1, ∴lg(ab)=1,

∴f(a)+f(b)=lg a+lg b =2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2. 答案:2

8.(2013蚌埠市一模)函数y=|lox|的定义域是[a,b],值域为[0,2],则在区间[a,b]的长度b-a的最小值是 .

2

2

2

2

解析:结合函数图象,当y=|lox|的定义域为[a,b],值域为[0,2]时,a=,b=1,此时b-a取最小值.

答案:

3．若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e，则有( ) A．f(2)

B．g(0)

x解析 由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)e－ee＋ee－e＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，且f(3)>f(2)＝

222e－e

>0， 2

因此g(0)

4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则( ) A．ax2

－2

x－xx－xx－xB．c解析 分别画出函数y＝2，y＝－x，y＝log2x，y＝2的图象，转化为交点横坐标的比较问题．容易得出A正确．

答案 A

9．设函数f(x)＝|x＋a|， g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

答案 [－1，＋∞)

2.在平面直角坐标系中，A(3,1)，B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|OA?OB|的最大值是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

3.集合A?{x?N|

3?1}， x??1?x3

???＋，x≥2，

(仿2011·北京，13)已知函数f(x)＝??2?4若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同

??log2x，0＜x＜2.

的零点，则实数k的取值范围是________． 解析 画出函数f(x)图象如图．

要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，?3?

?. 由图易知k∈?，1?4??3?? 答案 ?，1?4?

7．(仿2012·天津，14)若函数f(x)＝

?2－m?x

的图象如图，则m的取值范围是________． x2＋m

解析 ∵函数f(x)的定义域为R，∴x2＋m恒不等于零，∴m＞0.由题图知，当x＞0时，f(x)＞0，∴2－m＞0?m＜2.

2－m

又∵在(0，＋∞)上函数f(x)在x＝x0(x0＞1)处取得最大值，而f(x)＝，∴x0＝m

mx＋x＞1?m＞1.综上，1＜m＜2. 答案 (1,2)

?3??3?

8．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f?x＋?＝－f(x)，且函数y＝f?x－?为奇函

?2??4?

数，给出以下四个命题： (1)函数f(x)是周期函数；

?3?

(2)函数f(x)的图象关于点?－，0?对称；

?4?(3)函数f(x)为R上的偶函数； (4)函数f(x)为R上的单调函数．

其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)

?3?

?解析 由f(x)＝f(x＋3)?f(x)为周期函数，且T＝3，(1)为真命题；又y＝f?

?x－4?关于3?3?

?向左平移个单位得y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，y＝f?x－?4?43?

?－，0??对称， ?4?

3333?3??为奇函数，所以f??x－??＝－f??－x－??，f??x－－??＝－(2)为真命题；又y＝f?x－?4??4??4??44?3??3?3??3?f?－x－?＝－f(－x)，∴f?x－?＝－f(－x)，f(x)＝f(x－3)＝－f?x－?＝f(－x)， ?4?2??2?4?∴f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数，(3)为真命题；(4)为假命题，故真命题为(1)(2)(3)． 答案 (1)(2)(3)

?1?

?x，x∈[－1,1]，函数g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最(仿2012·江苏，13)已知函数f(x)＝??3?

小值为h(a)． (1)求h(a)；

(2)是否存在实数m、n同时满足下列条件： ①m＞n＞3；

②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．

1?1??x∈??，3??. 解 (1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝?

?3??3?1?1??x，t∈??，3??， 设t＝??3??3?

则y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2. 1282a?1?

?＝－； 当a＜时，ymin＝h(a)＝φ?

?3?9331

当≤a≤3时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2； 3当a＞3时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.