(2)判断性别与休闲方式是否有关系． 解：(1)依题意得2×2列联表
男性 女性 合性 看电视 8 16 24 运动 20 12 32 合计 28 28 56 (2)由2×2列联表中的数据知K2的观测值为k＝ 56×?12×8－20×16?2
≈4.667，
24×32×28×28
从而6.635≥k≥3.841，故在犯错误的概率不超过0.005的情况下认为性别与休闲方式有关．
19．(12分)(2011·全国课标高考)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现有两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各自产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表 指标值 分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8 B配方的频数分布表 指标值 分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10 (1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； (2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝－2， t＜94，??
?2， 94≤t＜102，??4， t≥102.
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
22＋8
解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A
100配生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频32＋10率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
100
6
(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，
即X的分布列为：
X P －2 0.04 2 0.54 4 0.42 X的数学期望E(X)＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68. 20．(12分)(2011·北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
甲组 乙组
9 9? 0 ?X 8 9
? 1 1 ?? 1 ?0
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．
1
(注：方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平
n均数)
解：(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数为x＝8＋8＋9＋1035
＝； 44
方差为
35?2?35?2?35?2?351?11
8－8－9－10－?2＝. s2＝?＋＋＋4??4??4??4?164??
(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植2
树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝161. 8
1111
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
4448所以随机变量Y的分布列为：
Y P 17 1 818 1 419 1 420 1 421 1 8 E(Y)＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝11111
17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19.
84448
7
21．(12分)(2011·天津高考)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
1
C213C2
解：(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝2·2＝. C5C35211C2C113C23C2C2②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又P(A2)＝2·2＋2·2＝，
C5C3C5C32
117
且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝. 2510(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2. 791－?2＝， P(X＝0)＝??10?100P(X＝1)＝C12
77?21
×?1－10?＝?50， 10
7?249
P(X＝2)＝??10?＝100. 所以X的分布列是
X P X的数学期望E(X)＝0×
0 9 1001 21 502 49 100921497＋1×＋2×＝. 100501005
22．(12分)(2011·安徽高考)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟．如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3.假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．
(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3.其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列．求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)E(X)；
(3)假设1＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小．
解：(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)，
8
所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于
1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝p1＋p2＋p3－p1p2－p2p3－p3p1＋p1p2p3.
(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量X的分布列为
X P 1 q1 2 (1－q1)q2 3 (1－q1)(1－q2) 所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是 E(X)＝q1＋2(1－q1)q2＋3(1－q1)(1－q2) ＝3－2q1－q2＋q1q2.
(3)解法一：由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，E(X)＝3－2p1
－p2＋p1p2.
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1，q2，q3，都有 3－2q1－q2＋q1q2≥3－2p1－p2＋p1p2.(*) 事实上，
Δ＝(3－2q1－q2＋q1q2)－(3－2p1－p2＋p1p2) ＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－p1p2＋q1q2
＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－(p1－q1)p2－q1(p2－q2) ＝(2－p2)(p1－q1)＋(1－q1)(p2－q2) ≥(1－q1)[(p1＋p2)－(q1＋q2)] ≥0. 即(*)成立．
解法二：①可将(2)中所求的E(X)改写出3－(q1＋q2)＋q1q2－q1，若交换前两人的派出顺序．则变为3－(q1＋q2)＋q1q2－q2.由此可见，当q2＞q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值．
②也可将(2)中所求的E(X)改写为3－2q1－(1－q1)q2，若交换后两人的派出顺序，则变为3－2q1－(1－q1)q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3＞q2时，交换后两人派出顺序也可减少均值．
综合①②可知，当(q1，q2，q3)＝(p1，p2，p3)时，E(X)达到最小．即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的．
9