圆中的分类讨论题------之两解情况
一、根据点与圆的位置分类
例１、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。
解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。
（1）当点P在圆内时，如图1所示，直径
；
AOPB（2）当点P在圆外时，如图2所示，直径所以，圆O的直径为2或6。
；
AOBP 练习1：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则此圆的半径为（ ）
2：P在⊙O内，距圆心O的距离为4，⊙O半径长为5，经过P点，交于⊙O的弦为整数的有多少条？
解：过P点的弦长为整数的最短弦长是6cm（该弦垂直于OP，等于5与4的平方和的平方根的2倍）；最长的是10cm（过O、P的直径）；其间弦长为整数的长度还有7、8、9cm，所以共有8条(其中的7、8、9各有两条，以OP为对称轴） 。
3：⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P的点的距离为1，则点P、Q与⊙O有何位置关系？
二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论
例1、圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD?8cm，求AB和CD的距离。
解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图，过点O作OM?AB交AB于点M，交CD于N，连结OB、OD，得Rt?OMB，Rt?OND，然后由勾股定理求得：OM?4cm，ON?3cm，故AB和CD的距离为1cm。
AMBOACMNOBD（2）当AB、CD在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM?4cm，ON?3cm。故AB和CD的距离为7cm。
所以AB和CD的距离为1cm和7cm。
例2、 已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为多少？（2或8cm） 例3、 已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD，使AD=1，
并求∠CAD的度数．
CND解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴BC=1/2AB=1， ∠B=60°
以A圆心BC长为半径画弧可得点D，再连接AD即可；
∵AD=BC， 所以弧BCE=弧ADC ∴∠DAB=∠B=60°， ∴∠DAC=60°-30°=30°；
同理可得：∠D′AC=60°+30°=90°；综上所述：∠CAD的度数为30°或90°
例4、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm，其半径为50cm，求油面的最大深度？ 两个答案：要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。 例5、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 三、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论
例1、已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？
四、点与弦的相对位置时，需要分类讨论
例1：⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。 例2：在⊙O中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点。判断COB?与CPD?的数量关系，并尝试证明你的结论。 五、三角形与圆心的位置关系
例1：已知?ABC内接于圆O，?OBC?35?，则?A的度数为________。
分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在?ABC的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3，
??OBC?35???BOC?110???BAC?55? APOBOBCCA 图3 图4 （2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4， ??OBC?35???BOC?110???BPC?55???BAC?125? 所以?A的度数是55?或125?。
练习：1、已知圆内接?ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。（两种情况如图5、图6）
AADOCBOBCD
图5 图6
例2、△ABC内接于⊙O，AOC?=1000，则ACB?=
例 3、△ABC是半径为2cm的园内接三角形，若BC=23cm，则∠A的度数为
例4、已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。
六、角与圆心的位置关系
在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关系分为三类加以讨论：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部。其中，第一种情况是最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化为第一种情况加以证明的。通过这三种情况的证明概括得出一般性结论。
例1、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是____。
分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE?1?同理，在Rt△CAE中，EC＝AC， 所以∠EAC＝45°，∠BAC?30??45??75?
C'1AE,所以∠BAE＝30° 2AOC当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：E∠BAC'?45??30??15? 所以∠BAC为75°或15° 七、弦所对的圆周角有两种情况 例1：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于____。 分析：弦所对的圆周角有两种情况： （1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上； （2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。 解：故应填60°或120°。
例2、圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 A.30°或60° B.60° C.150° D.30°或150°
练习：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 。 八、 点在弧上的位置，需要分类讨论
例1：如下图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OPB＝_________度。（分p在x轴的两侧） 九、圆与圆的位置关系
例1、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。
解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。
（2）当圆O2是小圆时，则圆O1的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O1的半径为5cm。
所以圆O1的半径是3cm或5cm。
例2、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距 。
解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6?4?2cm。 （2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6?4?10cm。
所以两圆的圆心距是2cm或10cm。
例3、相交两圆半径分别为5 cm 和4cm ，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况 补充：
B 1、弦所对弧的优劣情况不确定
已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。
20cm或80cm
2、如图3，AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，?BAC?60?，则弦AB所对的圆周角等于__________。
分析：因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。
解：（1）当这个圆周角的顶点在弦 120 ? 。 切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为
（2）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的
弧以外的弧上时，求得这个圆周角为60?。
P'OPACB
所以弦AB所对的圆周角等于120?或60?。
3、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。 解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。
（2）当圆O2是小圆时，则圆O1的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O1的半径为5cm。所以圆O1的半径是3cm或5cm。
4、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_______。
解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图，设AB是公共弦，O1O2交AB于点C，则
AC?4，由勾股定理解得O1C?43，O2C?3，故O1O2?43?3。 AO1O2CB （2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图7，可求得O1C?43，O2C?3。故O1O2?43?3。
ACO1BO2 所以这两圆的圆心距为43?3或43?3。 5、过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。
解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种： （1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则
AE?R?10，AF?R?10
由相交弦定理得：?R?10??R?10??64 所以R?241（负值已舍去）
（2）点A在⊙O外，如图2，此时
AE?10?R，AF?10?R
由割线定理得：?10?R??10?R??64 所以R?6（负值已舍去） 故⊙O的半径R为241或6。
6、如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。
解：依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45° 当动点P在OAB上时，∠OPB＝∠OAB＝45° 当动点P在OB上时，∠OPB＝180°－45°＝135° 故∠OPB为45°或135°。
7、已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。 分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。 解：如图9、图10，
在Rt?O1AC中，O1C?O1A2?AC2?42?22?23
⌒⌒在Rt?O2AC中，O2C?O2A2?AC2???222?22?2
（1）当圆心O1、O2在公共弦AB的同侧时，