细说圆中的分类讨论题------之两解情况
由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆的位置分类
例１、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。
分析：根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。
解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。
（1）当点P在圆内时，如图1所示，直径
；
AOPB（2）当点P在圆外时，如图2所示，直径
； 所以，圆O的直径为2或6。 二、三角形与圆心的位置关系
AOBP例２：已知?ABC内接于圆O，?OBC?35?，则?A的度数为________。 分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在?ABC的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3，
??OBC?35???BOC?110???BAC?55? APOBOBCCA 1 图3 图4
（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4，
??OBC?35???BOC?110???BPC?55???BAC?125?
所以?A的度数是55?或125?。
练习：已知圆内接?ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。（两种情况如图5、图6）
AADOCBOBCD
图5 图6
三、角与圆心的位置关系
例3:在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是____。
分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E
BE?1?在Rt△ABE中，由勾股定理得：
1AE,2A所以∠BAE＝30°
同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，
C'所以∠EAC＝45°，∠BAC?30??45??75?
BOC当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：
E∠BAC'?45??30??15? 所以∠BAC为75°或15°
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四、圆中两平行弦与圆心的位置关系
例4. 圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD?8cm，求AB和CD的距离。
分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。
解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图8，过点O作OM?AB交AB于点M，交CD于N，连结OB、OD，得Rt?OMB，Rt?OND，然后由勾股定理求得：OM?4cm，ON?3cm，故AB和CD的距离为1cm。
AACMNOBDMBO（2）当AB、CD在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM?4cm，ON?3cm。故AB和CD的距离为7cm。
所以AB和CD的距离为1cm和7cm。
五、弦所对的圆周角有两种情况
例5：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
分析：弦所对的圆周角有两种情况： （1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上； （2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。 解：故应填60°或120°。
练习：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 。
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CND六、圆与圆的位置关系
例6、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。
分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆。
解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。
（2）当圆O2是小圆时，则圆O1的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O1的半径为5cm。
所以圆O1的半径是3cm或5cm。
例7、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距 。 分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。
解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6?4?2cm。
（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即
6?4?10cm。
所以两圆的圆心距是2cm或10cm。
例8、相交两圆半径分别为5 cm 和4cm ，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______
分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况
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补充：
1、弦所对弧的优劣情况不确定
已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。
20cm或80cm
2、如图3，AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，?BAC?60?，则弦AB所对的圆周角等于__________。 分析：因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。 解：（1）当这个圆周角的顶点在弦 切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为120?。 （ 2 ）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的 弧以外的弧上时，求得这个圆周角为60?。 所以弦AB所对的圆周角等于120?或60?。 ABOPCP'
3、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。 分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆。
解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。
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