复习课: 导数及其应用
教学目标
重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．
难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.
知识点：（1）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念（2）熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系. 理解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）.会求一些实际问题的最大值和最小值. 能力点：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力． 教育点：求极值和最值的步骤，需要具体练习和掌握. 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心.
自主探究点：函数导数等于零的点一定是极值点吗？
考试点：1.导数的概念、四则运算、常用函数的导数的考查2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值. 易错易混点：使导函数等于零的点当成了是极值点，没有进一步的检验，在选择题、和填空题中经常出错. 拓展点：不等式恒成立和方程根的个数问题.
学法与教具
学法：1.采用“学案导学”方式进行教学2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用 教具：多媒体、学案、直尺. 一、【知识结构】
导数的概念 导数的几何意义 基本的导数公式 导数 即 导数的应用 二、【知识梳理】
几种常见函数的导数 导数的运算 两个函数的和差积商的导数 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 1.导数的概念：对于函数y?f(x)，如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应的有增量
?y?f?x0??x??f?x0?.比值
?y就叫做函数y?f(x)在x0到x0??x之间的平均变化率， ?x?yf(x0??x)?f(x0)?y?，如果当?x?0时，有极限，就说函数y?f(x)在点x0处可导，并
?x?x?x且把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（或瞬时变化率），记作f'?x0? 或 y?|x?x0
1
即f'?x0?＝
lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y＝lim ?x?x?x?02.几种常见函数的导数
??(x)?＝ ；(??Q*) (sinx)?＝ ;(cosx)?＝ ; (C) ＝ ；
(ex)?＝ ， (ax)?＝ ； (lnx)?＝ ; (logax)?＝
3. 导数的四则运算 若y?f(x),y?g?x? 的导数存在，则
①[f(x)?g?x?]/?_____________ ②[f(x)?g?x?]/?_____________ ③[f(x)/ ④[Cf?x?]/?__________]?_______________________
g(x)4.导数的意义
（1）导数的几何意义：函数y?f(x)在点x0处的导数f'?x0?，就是曲线y?f(x)在点P?x0,f(x0)?处的切线的斜率k，即k?f/?x0?.
t0处的导数/tS(t0)的物理意义是运动物体在时刻0处的瞬时速度.
（2）导数的物理意义：函数S(t)在点
5.函数的单调性与导数的关系
（1）在某个区间?a,b?内如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减；如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间上是常数函数． （2）求可导函数y?f(x)的单调区间的步骤：（1）求f'?x? (2)解不等式f'?x??0 (或f'?x??0)
(3)确认并写出单调区间. 6．函数的极值与导数
（1）若函数y?f(x)在点x?a处的函数值f(a)比它在点
x?a附近其它点处的函数值 ，且
f'(a)?0，而且在点x?a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫函数的极小值点，f(a)叫做
函数的极小值．
（2）若函数y?f(x)在点x?b处的函数值f(b)比它在点x?b附近其它点处的函数值 ，且
f'(b)?0，而且在点x?b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫函数的极大值点，f(b)叫做函
数的极大值．
求函数y?f(x) 极值的步骤：
（1）确定函数的定义域 ; (2) 求方程f?x??0的根;
'（3）解不等式f?x??0 (或f?x??0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间； (4) 列表; (5)写出极值. 7．函数的最值与导数
函数y?f(x)在[a,b]上有最值的条件：如果在区间[a,b]上函数y?f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
''求在闭区间[a,b]上的连续函数y?f(x)最值的步骤：（1）求y?f(x)在(a,b)内的 值； (2)将y?f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2
【设计说明】
第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以上基础知识填完
第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点（老师注意发现学生的问题） 第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评（大屏幕显示） 三、【范例导航】
1．利用导数研究曲线的切线 例1求曲线
y?x在点??1,?1?处的切线方程 x?2【分析】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【解答】因为y?/2?x?2?2，所以，在点??1,?1?处的切线斜率k?y/|?1?2，所以，切线方程为
y?1?4(x?1)，即2x?y?1?0.
【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求导.
14变式训练: 已知曲线y?x3?.?
33（1）求曲线在x?2处的切线方程；? （2）求曲线过点(2,4)的切线方程.
答案：（1）∵y/?x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k?y/|x?2?4. ?
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y?4?4(x?2),即4x?y?4?0.
（2）设曲线y?134?134?2x?.与过点P(2,4)的切线相切于点A?x0,x0则切线的斜率k?y/|x?x0?x0 ??，333??3∴切线方程为y??x0??1?332344?22y?x?x?x0?. 即?x(x?x),?000333?2∵点P(2,4)在切线上，∴4?2x0?234x0?, 即33323222x0?3x0?4?0,?x0?x0?4x0?4?0,∴x0(x0?1)?4(x0?1)(x0?1)?0,
∴?x0?1?x0?2??2?0,解得x0??1或x0?2,故所求的切线方程为4x?y?4?0或x?y?2?0.
2. 利用导数研究函数的单调性
例2(1) 已知函数f?x??212x?ax?(a?1)lnx,a?1，讨论函数f?x?的单调性； 2 (2)已知函数f?x??x?2x?alnx，若函数f?x?在区间?0,1?上是单调函数，求实数a的取值范围. 【分析】直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 求参数a的范围，应该首选分离参数法，这样比较简单．
3
【解答】(1) 函数f?x?的定义域是?0,???，由于f'/?x??x?a?a?1??x?1??x?1?a?
xx(x?1)2（i）若a?1?1即a?2,则f(x)?，故f(x)在(0,??)单调递增.
x(ii)若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f'(x)?0; 当x?(0,a?1)及x?(1,??)时，f'(x)?0
故f(x)在(a?1,1)单调递减，在(0,a?1),(1,??)单调递增.
(iii)若a?1?1,即a?2,同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加.
a2x2?2x?a (2) 函数f?x?的定义域是?0,???，f?x??2x?2??，
xx/因为函数f?x?在区间?0,1?上为单调函数
所以只需f'?x??0或f'?x??0在区间?0,1?上恒成立，
22a??(2x?2x)或a??(2x?2x)在区间?0,1?上恒成立， 即
解得a?0或a??4,所以实数a的取值范围是???,?4???0,???
【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.
变式训练: １、已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R．
（１）讨论函数f?x?的单调区间；（２）设函数f?x?在区间???21?,??内是减函数，求a的取值范围． ?33?答案：（1）f(x)?x3?ax2?x?1求导：f?(x)?3x2?2ax?1 当a2≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增．
?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?．
32???a?a2?3?a?a2?3???a?a2?3??a?a2?3?，，???递增．即f(x)在???， ?递增，??递减，???????3333??????（2）因为函数f?x?在区间???21??21?,??内是减函数，所以当x???,??时f'?x??0恒成立，结合二?33??33? 4
??f?次函数的图像可知??f???74a?2?????0?3?3?0??3?即?解得a?2．所以a的取值范围?2,???
42a1?/??????0?3?3?0?3??/3．利用导数研究函数的极值与最值
例3.已知函数f?x??x3?ax2?bx?c,曲线y?f(x)在点x?1处的切线为 l : 3 x ? y ? 1 ? ，若
x?
2
时，y?f(x)有极值.（1）求a,b,c的值；?（2）求y?f(x)在??3,1?上的最大值和最小值. 3
【分析】利用导数及函数的性质解题．
【解答】（1）由f?x??x3?ax2?bx?c,得f?(x)?3x2?2ax?b,? 当x?1时，切线 的斜率为3，可得2a?b?0 ①? 当x?
2?2?时，y?f(x)有极值，则f????0,可得4a?3b?4?0 ②? 3?3?由①②解得a?2,b??4由于切点的横坐标为x?1,∴f(1)?4.? ∴1?a?b?c?4∴c?5.?
（2）由（1）可得f?x??x3?2x2?4x?5,∴f?(x)?3x2?4x?4，令当x变化时，y,y/的取值及变化如下表：
f?(x)?0,得x??2或x?2， 3x
?3
??3,?2?
+
2?2? ?2 ??2,?
33??0
- 单调递减 ↘
?2??,1? ?3?+
1
y/
y
0
95单调递增 4
27↗95 ∴y?f(x)在??3,1?上的最大值为13，最小值为
278
单调递增
13
↗
【点评】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值以及最值等基础知识，考查运算
能力及用函数思想分析解决问题的能力.
2变式训练: 已知函数f?x??x3?ax2?bx?c在x??与x?1时都取得极值（1）求a,b,的值与函数
3f(x)的单调区间
（2）若对x???1,2?，不等式f(x)?c恒成立，求c的取值范围.
2答案：（1）由f?x??x?ax?bx?c,得f?(x)?3x?2ax?b,?
322由f???1?2?44???a?b?0，f?(1)?3?2a?b?0得a??,b??2
2?3?335