饶平二中2010年高考 理科数学测试卷（三）
答：这3名学生中“身高低于170cm”的人数期望值为
3。 ??12分 41AA1?1 218、解：（1）取A1D1的中点E，连结PE和B1E，则PE∥AA1，且PE???B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角． ---------1分
1BEAE?A1D1?1，B1E?B1A12?A1E2?5．??2分 在Rt?A中，1112又在正方体ABCD?A1BC11D1中，A1A?底面A1B1C1D1 A?PE?平面A1BC11D1,?PE?B1E ??3分
DCP?在Rt?B1PE中，B1P?B1E2?PE2?5?1?6，??4分 cos?B1PE?PE16??． ??5分 B1P66BA1E11D1BC?异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为6．???6分
6（2）不论点P在AD1上的任何位置，都有B1P?AC1，下面加以证明： ???? 7分 在正方体ABCD?A1BC11D1中，连接AC11?B1D1， ???? 8分 11，B1D1，则AC又CC1?平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1，故B1D1?CC1， ??? 9分 又A1C1?平面A1CC1，CC1?平面A1CC1，A1C1?CC1?C1， ?B1D1?平面ACC1， ??? 10分 11，又A1C?平面A1CC1，故B1D1?AC同理可证得AD1?AC1，
又B1D1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，B1D1?AD1?D1，
?平面AB1D1， ??? 12分 ?AC1又?不论点P在AD1上的任何位置，都有B1P?平面AB1D1， ?B1P?AC1． 14分
19、解：（1）?n?2时，an?an?1?2an?an?1?0
?an?an?1??2an?an?1，即：
11??2. ??3分 anan?11111?2?2(n?1)?2a??{}是首项为，公差为2的等差数列.故，即n.?7分
a1anan2n1an?1n112(n?1)??2??. 12分 （2）由（1）得f(n)?(n?4)an(n?4)?1n?5n?4n?4?592nn1当且仅当n?1时取等号. 故当n?1时，f(n)取得最大值。??14分
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饶平二中2010年高考 理科数学测试卷（三）
x2y220、解：（1）依题意可设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)??1分
ab?a?2b41???1，解得b2?2，故a2?4b2?8 ??3分， 则?4，故1224bb?2?1?2?abx2y2所以椭圆方程为??1??4分
82（2）因为l//OM，且l在y轴上的截距为m，又kOM?所以直线l的方程为y?1 2y M O A 1x?m??5分 2l1?y?x?m??222x?2mx?2m?4?0??6分 由?2，得2?x?y?1?2?8B x ?l交椭圆于A,B两个不同点，
???4m2?4(2m2?4)?0, 解得?2?m?2, 且m?0 ??8分
（3）设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2，则只需证明k1?k2?0即可。
设A(x1,y1),B(x2,y2)，由（2）有x1?x2??2m，x1x2?2m2?4??9分 又k1?y1?1y?1,k2?2 x1?2x2?2y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)????11分 x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)1212则k1?k2?又(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)?(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)
?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4m?4?2m2?4?2m(m?2)?4m?4?0?13分
?k1?k2?0 故直线MA,MB直线与x轴上始终围成一个等腰三角形??14分
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饶平二中2010年高考 理科数学测试卷（三）
21、解：（1）?f(x)?ax3?bx2?3x，?f'(x)?3ax2?2bx?3
又f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值?x??1是方程f'(x)?0的两个实数根，
??2b?3?0，??1，?b?0，a?1，经检验a?1，b?0符合题设。 3a3a?f(x)?x3?3x ??3分
（2）由(1)可得f'(x)?3x2?3，当x?[?1,1]时，f'(x)?0，函数y?f(x)单调递减。
?fmax(x)?f(?1)?2，fmin(x)?f(1)??2 ??5分
又对于区间[?1,1]上任意两个自变量的值x1,x2，
都有|f(x1)?f(x2)|?|fmax(x)?fmin(x)|?4，故命题得证。 ??7分
（3）过点A(1,m)向曲线y?f(x)作切线，设切点为(x0,y0)，
则y0?x03?3x0，k?f'(x0)?3x02?3，
?切线方程为y?(x03?3x0)?(3x02?3)(x?x0)
?切线过点A(1,m)，?m?(x03?3x0)?(3x02?3)(1?x0)
整理得2x03?3x02?m?3?0 （?）
??9分
?过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线
?方程2x03?3x02?m?3?0有三个不同实数根。
32'2??10分
记g(x)?2x?3x?m?3，则g(x)?6x?6x?6x(x?1) 令g'(x)?0得x?0或x?1
当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表
x g'(x)
g(x)
(??,0)
0 0
极大值
(0,1)
1
(1,??)
?
递增
?
递减
0
极小值
?
递增
由上表可得，当x?0时,g(x)有极大值m?3;当x?1时,g(x)有极小值m?2，12分
由g(x)的简图可知，当且仅当??g(0)?0?m?3?0即?， ?3?m??2时，
?g(1)?0?m?2?0函数g(x)有三个不同零点，过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，
所以若过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，m的取值范围是(?3,?2) ??14分
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