第六章 数列
第一讲 数列的概念及等差数列
考纲解析
1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）； 了解数列是自变
量为正整数的一类函数.
2. 了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公
式写出数列的前n项；理解an与Sn之间的转化关系。 3. 理解等差数列的概念。
4. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。等差数列的基本量是首项a1和公差d，利
用公式，对a1，d，an，Sn，n这五个量，能“知三求二”。
5. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应问题； 6. 了解等差数列与一次函数的关系。等差数列的通项公式可化为an?dn?c，当d?0时，它是关于n的一次函数，公差为一次函数的斜率；当d?0时，它是常数函数。
考点梳理
一．数列的概念
1．数列定义：按一定 排列的一列数叫做数列．数列中的每个数都叫这个数列的项． 从函数的观点看，数列?an?是一类特殊的函数an?f(n)，它的定义域为正整数集N*
或N*的有限子集{1,2,3,?,n}．
数列是特殊的函数，它的表示法类似于函数，有解析法（通项公式）、图像法、列表法、递推法．
2．数列的常用表示法 （１）通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的 ．记作：an?f(n)，并非每一数列都有通项公式，也并非都是唯一的．
（２）递推公式
如果已知数列?an?的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个式子叫做数列?an?的 ．如：
a1?1，an?1?2an?1
３. 数列的分类
根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列： 的数列；无穷数列： 的数列．
按照数列的每一项随序号的变化的情况分类：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；（an?1?an）
1
：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；（an?1?an） ：各项都相等的数列；（an?1?an）
：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项． 二．等差数列 1．等差数列的概念
如果一个数列从______起，每一项与它的_______的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的______． 2．通项公式与前n项和公式
⑴通项公式an?，a1为首项，d为公差．
_____________d2dn?(a1?)n2 ⑵前n项和公式Sn?_____________=__________________=23．等差中项
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．
即：A是a与b的等差中项?_____________?a，A，b成等差数列．
（小提示：三个数成等差数列时，一般设为a?d，a，a?d；四个数成等差数列时， 一般设为a?3d，a?d，a?d，a?3d）
4. 等差数列的常用性质
⑴数列?an?是等差数列，则数列?an?p?、?pan?（p是常数）都是____________； ⑵数列?an?是等差数列，则an?am?*___________. ．．．
⑶若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则__________________； 若m?n?2p(n,m,p?N)，则_____________________．
⑷数列?an?是等差数列，则Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,S4m?S3m……也成等差数列。 ⑸两个等差数列{an}与{bn}中,Sn,Tn分别是它们的前n项和,则
anS2n?1? bnT2n?1⑹当项数为2n(n?N?)，则S偶-S奇=nd,S偶S奇=an?1； an=n?1. n当项数为2n?1(n?N?)，则S奇-S偶=an,S偶S奇课前热身
1．下面有四个命题：
①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；
2345n②数列，，，，…的通项公式是an＝；
3456n＋1
2
③数列的图象是一群孤立的点；
④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．
其中正确命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 ２．已知{an}是等差数列，a2?3,a7?6，则公差是（ ）
A．
3 5 B．
5 3
C．?3 5
D．?5 3
３．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2?4,S4?20，则公差是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7
４．已知等差数列{an}的前三项分别为a?1,a?1,2a，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
５．已知等差数列{an}中．S7?35，则a4? （ ） A．8
B．7
C．6
D．5
重点难点方法
一、数列的函数特征
na
例1．已知数列{an}的通项an＝(a，b，c均为正实数)，则an与an＋1的大小关系是________．
nb＋c
思路点拨： 用函数的单调性来研究，注意n∈N* 听课笔记：
.
归纳点评：数列是一种特殊的函数，故它具有函数的性质，可用函数的方法研究它。
an－1变式训练：若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈N*)，则a23＝( )
an－2
A．1 B．2
1－
C． D．2987
2
二、等差数列基本量的计算
例2．（1）等差数列{an}中，已知a12?23，a42?143，an?263，求n
（2）已知等差数列{an}中，a3a7??16,a4?a6?0,求{an}前n项和sn. 思路点拨 等差数列的基本量是首项a1和公差d，利用通项公式、前n项和公式列方程求解，对a1，d，an，Sn，n这五个量，能“知三求二”． 听课笔记
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归纳点评 等差数列的基本量是首项a1和公差d，可利用方程（组）的思想求解。等差数列的通项公式也可看成关于正整数n的一次函数，可用函数的思想求解。
变式训练： 已知等差数列{an}中，a3?a7?a10?8,a11?a4?4，则前13项和S13?
A．168
B．156
C．152
D．78
三、等差数列性质的应用
例3．（1）在等差数列{an}中，a1?3a8?a15?120，则2a9?a10?( )
A.24 B.22 C.20 D.?8
a18?a19?a20?78，a1?a2?a3??24，（2）等差数列{an}中，则此数列前20项和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
（3）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9等于（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
思路点拨 （１）由通项公式化归基本量a1，d求解．或由角标公式可知a1?a15?2a8，
2a9?a8?a10代入化解求解．
（２）S20?(a1?a20)?20，而a1?a20?a2?a19?a3?a18．
2 （３）根据等差数列的性质Sm,S2m?Sm,S3m?S2m……成等差数列求解． 听课笔记
归纳点评 在这类题中，可用通项公式、前ｎ项和公式化归为基本量a1，d求解．但利用等
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差数列的性质求解，会事半功倍． 变式训练：
两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比
A．
Sn5n?3a，则5的值是 （ ） ?Tn2n?7b528485323 B． C． D． 17252715
四、等差数列的判定或证明
例4．在数列{an}中，a1?1，an?1?1?12*，bn?，其中n?N. 4an2an?1222 (1) 求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列?an?的通项公式。 思路点拨（１）由bn?22an?1得bn?1?2an?1?1，证明bn?bn?1?2an?12an?1?1?为常数．
（２）由数列{bn}的通项公式求出an 听课笔记
归纳点评 等差数列的常用判定方法
⑴定义法：an?1?an?d（n?N，d是常数）??an?是等差数列；
?⑵中项法：2an?1?an?an?2(n?N)??an?是等差数列.
*⑶通项公式法：an?dn?c（n?N*）??an?为等差数列；（其中d为公差，当d?0时，为常数数列）
⑷前n项求和法：Sn?pn?qn（n?N*）??an?为等差数列；（Sn为不含常数项二
2次函数，当p?0时，为常数数列） 变式训练：
已知在数列?an?中，a1?1，a3?a7?18，且an?1?an?1?2an，求数列?an?的通项公式．
五、等差数列和的最值问题
例5．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且a16?a17?a18?a9??36，
（１） 求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值；
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