（２） Tn?a1?a2???an，求Tn 思路点拨
(1) 列方程求出a1和公差d．可按下列三种思路求解。
思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0；
思路之二是通过等差数列的单调性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解； 思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解． （2）分正项、负项分别求和。 听课笔记
归纳点评 求解等差数列{an}的最值问题， （1）若aan?01?0,d?0，则Sn有最大值???a0 ；若a1?0,d?0，则S1最小．
?n?1?（2）若a?an?01?0,d?0，则Sn有最小值?? ；若?aa1?0,d?n?1?00，则S1最大．
（3）视Sn为n的二次函数，利用二次函数的图象与性质求解。
变式训练
设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,则当Sn取最小值时n等于（A．6
B．7
C．8
D．9
及时突破
1.{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝
( )
A．－2 B．－11
2 C.2
D．2
6
）
2.在等差数列{an}中，已知a3?2，则该数列的前5项之和为 （ ） （A）10 （B）16 （C）20 （D）32
3. 设{an}是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（ ） A、120 B、105 C、90 D、75
4. 一个等差数列共10项；其中奇数项的和为125，偶数项的和为150，则第6项是______． 5．（2011天津卷文）已知?an?为等差数列，Sn为其前n项和，n?N，若a3?16,S20?20,*则S10的值为_______．
6．已知数列{an}的通项an?11?2n，则a1?a2?a3???a10? ．
课时训练
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．已知数列{an}中，a1＝1，an+1 =an+2，则a51 = ( )
A．49 B．89 C．99 D．101
2．设数列{aSn}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列{nn
}的前11项和为( )
A．－45 B．－50 C．－55 D．－66
3．设S是等差数列{aann}的前n项和，若 55S9a＝，则等于( )
39S5
A．1 B．－1
C．2 D.1
2
4．已知数列{an}，{bn}是等差数列，a1＝2，b1＝2，a2+ b2=５,则a37+ b37= ( )
A．40 B．37 C．－32 D．－37 5．（2011全国２卷4）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，
Sk?2?Sk?24，则k= ( )
Ａ．8 Ｂ．7 Ｃ．6 Ｄ．5
6．数列{a中，a1
n}3＝2，a7＝1，且数列{a＋1
}是等差数列，则a11等于 ( )
nA．－25 B．12 C．23
D．5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝3，S6＝24，则S9＝______．
8．在－8和10之间插入a1，a2 ，a3三个数，使这五个数成等差数列，则a2=_______．9．在等差数列{an}中，已知a5=10，a12>31，则公差d的范围是__________． 10．等差数列{an}中， S12=8 S4，且d≠0,则
a1d?_________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分） 11．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.
(1)求通项an ；
(2)若Sn＝112，求n.．
7
12．一个等差数列{an}中前4项和为40，最后4项的和为80，所有项和210，求项数n . 13．已知数列{an}中，a1?13?，数列an?2?，,(n?2,n?N)数列{bn}满足
an?15bn?2(n?N?) an?1（1）求证数列{bn}是等差数列，并求an；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn取最小值时的序号n的值.
参考答案：
考点梳理
一．数列的概念
1．次序 2．通项公式 4．递推公式 6．项数有限；项数无限；递减数列；常数列；摆动数列．
二．等差数列
?1)第二项 前一项 公差 a1?(n d
(a1?an)nn(n?1) na1?d 22a?an?2a p2A?a?b 等差数列 (n?m)d am?an?ap?aq m课前热身
n＋1
1．选A. ①错误，如an＋2＝an＋an＋1，a1＝1就无法写出a2；②错误，an＝；③正确；④
n＋2
两数列是不同的有序数列．故应选A. ２．A.由?an?是等差数列，d?３．B.?a7?a23?，故选A. 7?25?S2?2a1?d?4，d?3，故选B.
S?4a?6d?20?41４．C.由中项公式得2(a?1)?a?1?2a ，?a?3 ５．D．S7?(a1?a7)?7?35，又?a1?a7?2a4，?a4?5
2重点难点方法
8
例1．∵an＝
naaca
＝，是减函数，∴an＝是增函数，∴an
cncnb＋c
b＋b＋nn
11
变式训练：选C.由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，
22111
a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a23＝ 222
例2．（１）解：（方法一）设等差数列{an}的公差为d，则?∴an?a1?(n?1)d??21?(n?1)?4?263，解得n?72 （方法二）设等差数列{an}的公差为d，则d??a1?11d?23?a1??21，解得?
a?41d?143?d?4?1a42?a12143?23??4
42?1230∴an?a12?(n?12)d，又an?263，解得n?72
???a1?2d??a1?6d???16（２）解：设?an?的公差为d，则 ?
a?3d?a?5d?0??11?a12?8da1?12d2??16?a1??8,?a1?8或?即? 解得?
?d?2,?d??2?a1??4d因此Sn??8n?n?n?1??n?n?9?，或Sn?8n?n?n?1???n?n?9? 变式训练： 选B.??a1?2d?a1?6d?(a1?9d)?8460，?d?,a1?，
a?10d?(a?3d)?477?116013(13?1)4???156 727例3．（1）（方法一）a1?3a8?a15?5a1?35d?120，a1?7d?24，又2a9?a10?a1?7d ?S13?13? ∴2a9?a10?24，选A。
（方法二）由m?n?p?q? am?an?ap?aq；m?n?2p?am?an?2ap 得a1?3a8?a15?3a8?120，∴a8?24，又2a9?a10?(a8?a10)?a10?a8?24 （2）∵a1?a2?a3??24，a18?a19?a20?78，
∴a1?a2?a3?a18?a19?a20?3(a1?a20)?54，a1?a20?18，
(a1?a20)?20=180，选B。
2（3）因为a7?a8?a9?S9?S6，根据等差数列的性质Sm,S2m?Sm,S3m?S2m……成等差数
∴S20?S9?S6成等差数列，S3=9，S6?S3=27所以a7?a8?a9?S9?S6=45。列，可知S3，S6?S3，
9
9a2a2?S9?48。 变式训练：2．选B ．（方法一）5?5?25b52b5(b?b)?9T9192(a1?a9)?（方法二）由公式
anS2n?1a5S2?5?1S948得? ???T25bTbnT2n?12?5?159例4． (1) 由bn?22an?1?12an?12an?1?12an?14an?1222 ? ??2为常数．∴数列?bn?为等差数列．??12an?1?12an?1?12?(1?)?12an?1?14an?1得bn?1?2，∵bn?bn?1?2?2
(2)∵b1?22n?1?2n ，?an? ?2，?bn?b1?(n?1)?2?2n，即bn?2an?12a1?12n?an?1?an?an?an?1，变式训练：解：∵an?1?an?1?2an，即数列?an?是等差数列，∵a1?1，a3?a7?a1?2d?a1?6d?18，∴d?2，∴通项公式an?2n?1
例5．（1）∵a16?a17?a18?3a17??36，a17??12?a1?16d，a9??36?a1?8d ∴a1??60,d?3，sn?32123n?n，由二次函数性质知，当n=20或n=21时， 22Sn有最小值－630．
（２）由（１）得an?3n?63，令an?3n?63?0，则n?21，即前21项为负项，22
项之后均为正项，所以
Tn?a1?a2???an?a1?a2???a21?a22???an 3123?S21?Sn?S21＝n2?n?1260
22
a1??11?22变式训练：选A．解：??，?d?2，Sn?n?12n?(n?6)?36?a4?a6?2a1?8d??6∴当n?6时取最小值． 及时突破
1．选B．解：a7?(a7?a1)??1，?a1?1，?d??2．选A．S5?
1 2(a1?a5)?5?a3?5?10
210