第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）
一、 填空题（每小题10分，共80分）
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分 1计算：
2008?2007?20092008?2009?1?2009?2008?20102009?2010?1=
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分2、如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有 个。
图1
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分3将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924…”。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分4如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线l将原图形分为面积相等的两部分。l与AB的交点为E，与CD的交点为F。若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小正方形的边长是 厘米。
AEBCFD图2
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分5某班学生要栽一批树苗。若每个人分
配k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有 名学生。
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分6已知三个合数A,B,C两两互质，且A×B×C=11011×28，那么A+B+C的最大值为
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分7方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方格中的数，相同的符号代表相同的数，如图3所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别是36，50，41，37，则第三行的四个数的和为
图3
（第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第8题）已知1+2+3+?+n（n>2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题1六个分数
12，
13，
15，
17，
111，
113的和在哪两个连续自然数之间？
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题2.2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有5个星期日？
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第二大题3已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。
（2009年第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第12题）在51个连续的奇数1，3，5，?，101中选取k个数，使得它们的和为1949，那么k的最大值是多少？
三、 解答下列各题（每个题15分，共30分，要求写出详细过程）
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第三大题1.如图4所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，
且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。
DCOAB图4
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题10分第三大题2在图5所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字。若
“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数。 祝贺 × 华杯赛 ＝ 第十四届
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 A 参考答案（小学组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
题号 答案 1 2 2 64 3 3 4 26 5 41 6 1626 7 33 8 37
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．答案：在1和2之间。 解答：
12?13?15?17?111?113
?? ??1?215261526??1?11?1?1??? ???????13?117?3??5?14331433??12?351235?。 ＜
123511526?15351426?1?14351111226??12354126因为
?1526?14331＜2，
又因为＞
1＞1，
1所以六个分数，，，，
2357，
13的和在1和2之间。
10．答案：10月份的第一天是星期四，3、5、8、11月有五个星期日。
解答：下表列出各个月的1号的相关信息： 月份 1号距1月1号的天数 除以7的余数 1号的星期数 2 31 3 日 3 59 3 日 4 90 6 三 5 120 1 五 6 151 4 一 7 181 6 三 8 212 2 六 9 243 5 二 10 273 0 四 11 304 3 日 12 334 5 二 10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四。
3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日； 5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日； 8月3号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日； 11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日。
11．答案540，或108。
22?a,b?2?3?5解答：如果b不是22的倍数，因为?，则a一定是的倍数。由此可知?2???a,c??222一定是22的倍数，但是??a,c???2?3?5不是2的倍数。所以b是2的倍数。同理可得c
23是33的倍数，所以??b,c???2?3整除。
因为??a,b???60，??a,c???270，所以60是b的倍数，270是c的倍数，所以b，c的
22最小公倍数?因为?所以??b,c??是??b,c???2?3?5＝?60,270??的约数。?60,270???2?3?5，
2540，或??b,c???2?3＝108.
当a＝1，b＝60，c＝270时，??a,c???60，??a,c???270，??b,c???540； 当a＝5，b＝12，c＝54时，??a,c???60，??a,c???270，??b,c???108；
答案：43。
12、解答：显然，选的数越小，可以使选出的数的个数越多。
首先考虑从45个连续的奇数1，3，5，7，…，99中选出n个数，使它们的和不超过1949。
由1?3?5????2n?1??n2得n2≤1949。
因为452?2025＞1949，且45个奇数的和不小于1?3?5???89?2025＞1949，所以n≤44。
若选取44个奇数，因为偶数个奇数的和为偶数，而1949为奇数，所以不可能选取44个奇数，使得它们的和为1949。
所以n≤43。 因为442?1936＜1949，2025－1949＝76，且76是偶数，所以至少从1，3，5，…，89中删除两个奇数，并使它们的和为76。如，去掉1，3，5，…，89中的两个奇数37和39，即选1，3，…，35，41，…，87，89。
易验证1?3?5???35?41?43???89?2025?76?1949。 所以n的最大值为43。
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．答案：
2516
12解答：设三角形OAB的面积为x，梯形的高为h，则
?AB12+CD?h?4。
因为AB＝5，CD＝3，所以h＝1，因为SΔABO?SΔCBO?所以SΔOBC?52-SΔOAB32AB?h?52，
，即SΔOBC?，
52-x。①
同理可得SΔOCD?-SΔOBC