2011届高三数学一轮复习测试题
(直线与圆的方程)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
x＋1
1．(08·全国Ⅰ)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝
x－1
( )
11
A．2 B. C．－ D．－2
22
[答案] D
x＋1
[解析] ∵点(3,2)在y＝上，
x－1
－21
y′＝2，y′|x＝3＝－， 2(x－1)
直线ax＋y＋1＝0的斜率为－a，
1
∴(－a)×(－)＝－1，∴a＝－2.
2
1
2．若函数f(x)＝－eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)
b
与圆C的位置关系是 ( )
A．P在圆C外 B．P在圆C内 C．P在圆C上 D．不能确定 [答案] B
1aaxa
[解析] 当x＝0时，y＝－，又f′(x)＝－·e，k＝f′(0)＝－，所以切线l的方程为y
bbb
a1＝－x－，
bb
即ax＋by＋1＝0.
122
由22>1得，a＋b<1，即点P在圆C内． a＋b
3．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C
4．(文)如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 ( )
1?
A．[0,1] B.??2，1?
1
0，? C.? D．[0,2] ?2?[答案] D
[解析] 由题意知l过圆心(1,2)，由图知k∈[0,2]．
- 1 -
(理)若曲线x＋y＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为 ( )
1
A．1 B．－1 C. D．2
2
[答案] D
[解析] 由条件知直线kx＋2y－4＝0是线段PQ的中垂线，∴直线过圆心(－1,3)，∴k＝2.
22
5．由直线y＝x－1上的一点向圆x＋y－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为
( )
A．1 B.2 C.3 D．2 [答案] A
[解析] 圆C：(x－3)2＋y2＝1，
2
2
的圆心C(3,0)，半径为1，P在直线x－y－1＝0上． 切线PQ⊥CQ(Q为切点)，
则切线长|PQ|＝|PC|2－|QC|2＝|PC|2－1.
|3－0－1|
|PC|的最小值为点C到直线x－y＋1＝0的距离＝2.
2
所以|PQ|min＝(2)2－1＝1.
6．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是 ( )
22
A．(x－2)＋(y－1)＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 [答案] A
1
[解析] 由条件知O、A、B、P四点共圆，从而OP中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r＝
2
|OP|＝5，故选A.
7．过点P作圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的切线，切点为M，若|PM|＝|PO|(O为原点)，则|PM|的最小值是 ( )
35－5255
A. B. C. D．1
525[答案] A
[解析] 设点P坐标为(x，y)，则由条件得|PM|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1＝|PO|2＝x2＋y2，化简为x－2y＋2＝0，从而|PM|的最小值即为|PO|的最小值，也即O到直线x－2y＋2＝0的距离25，故选A. 5
8．直线l与圆x2＋y2＝1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于3，则直线l与两坐标
- 2 -
轴所围成的三角形的面积等于
31A. B. 22[答案] A
( )
C．1或3
13D.或 22
a＋b＝3??xy
[解析] 设直线l的方程为＋＝1，则满足?|ab|?ab＝－3或1(舍去)，从而所
ab＝1??a2＋b213
围成三角形的面积S＝|ab|＝，故选A.
22
9．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 ( )
A.AB [答案] D
[解析] 首先若点M是Ω中位于直线AC右侧的点，则过M，作与BD平行的直线交ADC于一点N，则N优于M，从而点Q必不在直线AC右侧半圆内；其次，设E为直线AC左侧或直线AC上任一点，过E作与AC平行的直线交AD于F.则F优于E，从而在AC左侧半圆内及AC上(A除外)的所有点都不可能为Q，故Q点只能在DA上．
10．已知点P是抛物线y2＝4x上的点，设点P到抛物线的准线的距离为d1，到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．32＋1 [答案] B
[解析] 由题意d1＝|PF|，d2＝|PQ|，点P在抛物线上，∴d1＋d2＝|PF|＋|PQ|，
故当P、F、Q三点共线时取最小值，由圆外一点到圆上点距离最值在这点与圆心连线与圆的交点处取得．
B.BC
C.CD
D.DA
∴最小值为|FQ|＝|FC|－|CQ|＝4.
11．(文)x2＋y2≤1是|x|＋|y|≤1成立的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 [答案] B
[解析] x2＋y2≤1表示⊙O内部及边界的平面区域M，|x|＋|y|≤1表示正方形ABCD内部及其边界的平面区域N，显然M?N，∴选B.
- 3 -
(理)四棱锥P－ABCD中，BC⊥平面PAB，底面ABCD为梯形，AD＝4，BC＝8，∠APD＝∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是
( )
A．圆
B．不完整的圆 C．抛物线
D．抛物线的一部分 [答案] B
[解析] 由题设知AD，BC都垂直于平面PAB，又∠APD＝∠CPB，可得△ADP∽△BCP，ADPA
所以＝，则PB＝2PA，且P点在与AD垂直的平面内，∴其轨迹为不完整的圆，故选B.
BCPB
12．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是
( )
94
A．y2＝－x或x2＝y
2394
B．y2＝x或x2＝y
2394
C．y2＝x或x2＝－y
2394
D．y2＝－x或x2＝－y
23
[答案] A
[解析] 由(a－1)x－y＋2a＋1＝0得 a(x＋2)－(x＋y－1)＝0， ???x＋2＝0?x＝－2，?∴∴?即点P(－2,3)． ?x＋y－1＝0?y＝3，??
设抛物线方程为x2＝p1y或y2＝p2x.
49
把点P的坐标代入求得p1＝，p2＝－.故选A.
32
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
→→
13．过点A(－2,0)的直线交圆x2＋y2＝1交于P、Q两点，则AP·AQ的值为________． [答案] 3
- 4 -
→
[解析] 设PQ的中点为M，|OM|＝d，则|PM|＝|QM|＝1－d2，|AM|＝4－d2.∴|AP|＝
→
4－d2－1－d2，|AQ|＝4－d2＋1－d2，
→→→→∴AP·AQ＝|AP||AQ|cos0°＝(4－d2－1－d2)(4－d2＋1－d2)＝(4－d2)－(1－d2)＝3.
14．如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．
[答案] 210 [解析] 点P关于直线AB的对称点是(4,2)，关于直线OB的对称点是(－2,0)，从而所求路程为(4＋2)2＋22＝210.
15．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，则向量a与b的夹角为________．
[答案] 60°
[解析] 根据题设知圆心到直线的距离为 |2cosαcosβ＋2sinαsinβ＋1||2cos(α－β)＋1|13d＝＝＝1，解得cos(α－β)＝或－(舍去)，
2222a·b4cosαcosβ＋4sinαsinβ1
∴cos〈a，b〉＝＝＝cos(α－β)＝，∴向量a与b的夹角为60°.
|a||b|42
故填60°.
16．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0有两个不同的公共点，则k的取值范围是________．
[答案] k∈R且k≠－1
[解析] ∵点A(2,2)在⊙C上，直线l恒过A点，圆心C(1,1)，kAC＝1，∴k≠－1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求该圆半径r的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．
[解析] (1)∵方程表示圆，∴D2＋E2－4F＝4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)＝4(－7m2
1
＋6m＋1)>0，∴－ 7 1 (2)r＝4(－7m2＋6m＋1) 2 3164747m－?2＋≤＝－7?，∴0 ?x＝m＋3? (3)设圆心坐标为(x，y)，则?， 2 ?y＝4m－1?2 消去m得，y＝4(x－3)－1. 120 ∵－ 77 - 5 -