即轨迹为抛物线的一段，
20?即y＝4(x－3)2－1 ??7 x≥0?? 18．(本小题满分12分)已知平面区域?y≥0 ??x＋2y－4≤0 被圆C及其内部所覆盖． (1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程． [解析] (1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形， ∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∴圆心是(2,1)，半径是5， ∴圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5. (2)设直线l的方程是：y＝x＋b. 10∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是， 2 |2－1＋b|10即＝.解之得，b＝－1±5. 22∴直线l的方程是：y＝x－1±5. 19．(本小题满分12分)(文)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最大值时，直线l的方程． [解析] (1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为x－y＝0； 2＋a 当直线l不经过坐标原点，即a≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2 a＋1 ＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 所以，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 12＋a?2＋a，0?、N(0,2＋a)，又因为a>－1，故S (2)由直线方程可求得M?×(2＋?△OMN＝×2a＋1?a＋1? 2 11(a＋1)＋2(a＋1)＋1111??＋2?＝2，当且仅a)＝×＝×[(a＋1)＋＋2]≥×?2(a＋1)× 222?a＋1?a＋1a＋1 1 当a＋1＝，即a＝0或a＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0. a＋1 [点评](1)截距相等，包括过原点的情形． (2)应用基本不等式求最值一定要注意条件的验证． (理)(2010·苏北四市)已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l1过点A(3,0)，且与圆O相切． (1)求直线l1的方程； (2)设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标． [解析] (1)∵直线l1过点A(3,0)，∴设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0， |3k| 则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝2＝1， k＋1 2 解得k＝±. 4 - 6 - 2 ∴直线l1的方程为y＝±(x－3)． 422 (2)在圆O的方程x＋y＝1中，令y＝0得，x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点 t A与x轴垂直，∴直线l2的方程为x＝3，设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝(x＋1)． s＋1 x＝3??4t??3，解方程组?得，P′ts＋1?. ?y＝(x＋1)??s＋1 2t??3，同理可得Q′ ?s－1?. 4t2t ∴以P′Q′为直径的圆C的方程为(x－3)(x－3)＋?y－s＋1??y－s－1?＝0， ???? 6s－2 又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋y＝0， t 若圆C经过定点，则y＝0，从而有x2－6x＋1＝0， 解得x＝3±22， ∴圆C总经过的定点坐标为(3±22，0)． [点评] ⊙C经过定点，分离参数t与s，则该定点应与t、s无关，故y＝0. 20．(本小题满分12分)圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)． (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点； (2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值． [解析] (1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0. 直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点， ??2x＋y－7＝0由?得交点M(3,1)． ?x＋y－4＝0? 又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点． (2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短． 又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5， ∴弦长为l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45. 21．(本小题满分12分)已知圆C的方程为：x2＋y2＝4. (1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程； (2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程； →→→→ (3)圆C上有一动点M(x0，y0)，ON＝(0，y0)，若向量OQ＝OM＋ON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线． |2－k| [解析] (1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由2＝2得，k1 k＋1 4 ＝0，k2＝－，故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0. 3 (2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意； 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)， |－1＋2| 即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则23＝24－d2，∴d＝1，∴1＝2，k＋1 3 ∴k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1. 4 (3)设Q点的坐标为(x，y)， →→→→ ∵M(x0，y0)，ON＝(0，y0)，OQ＝OM＋ON， - 7 - ∴(x，y)＝(x0,2y0)，∴x＝x0，y＝2y0. x2y2222?y?2 ∵x0＋y0＝4，∴x＋?2?＝4，即＋＝1， 416 22xy ∴Q点的轨迹方程是＋＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆． 416 22．(本小题满分14分)(文)已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆C. (1)求圆C的方程； (2)若过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N. (ⅰ)求实数k的取值范围； →→(ⅱ)若OM·ON＝12，求k的值． 35?3－25，，[解析] (1)线段AB的中点E?k＝＝－1，故线段AB的中垂线方程为y－＝?22?AB1－22 3 x－，即x－y＋1＝0. 2 因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上． 又因为直线m：3x－2y＝0平分圆C，所以直线m经过圆心． ?x－y＋1＝0?x＝2???由解得，?，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r＝|CB|＝???3x－2y＝0?y＝3 (2－2)2＋(2－3)2＝1， 所以圆C的方程为：(x－2)2＋(y－3)2＝1. (2)直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1| 圆心C到直线l的距离d＝， 1＋k2|2k－3＋1|2 (ⅰ)由题意得d＝2<1，两边平方整理得：3k－8k＋3<0， 1＋k 4－74＋7 解之得： ?y＝kx＋1 ①? (ⅱ)将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得，? 22 ?(x－2)＋(y－3)＝1 ②? 22 将①代入②得：(1＋k)x－4(1＋k)x＋7＝0， 设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则由根与系数的关系可得： 4(1＋k)7 x1＋x2＝， 2，x1x2＝1＋k1＋k2而y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1， 4(1＋k)7→→ 所以OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝(1＋k2)·＋1＝2＋k·1＋k1＋k24k(1＋k) ＋8， 1＋k24k(1＋k)2 故有2＋8＝12，整理k(1＋k)＝1＋k，解得k＝1.经检验知，此时有Δ>0，所以k1＋k＝1. →→→ (理)已知定点A(0,1)、B(0，－1)、C(1,0)，动点P满足AP·BP＝k|PC|2. (1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线． →→ (2)当k＝2时，求|2AP＋BP|的最大值和最小值． [解析] (1)设动点的坐标为P(x，y)，则 →→→ AP＝(x，y－1)，BP＝(x，y＋1)，PC＝(1－x，－y)． - 8 - →→→∵AP·BP＝k|PC|2， ∴x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]， ∴(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0. 若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(1,0)且平行于y轴的直线． k1k1 若k≠1，则方程化为?x＋1－k?2＋y2＝?1－k?2，表示以?k－1，0?为圆心，以?1－k?为半 ???????? 径的圆． (2)当k＝2时，方程化为(x－2)2＋y2＝1. →→ ∵2AP＋BP＝2(x，y－1)＋(x，y＋1)＝(3x,3y－1)， →→ ∴|2AP＋BP|＝9x2＋9y2－6y＋1＝36x－6y－26. 又∵(x－2)2＋y2＝1，则令x＝2＋cosθ，y＝sinθ， 于是有36x－6y－26＝36cosθ－6sinθ＋46 ＝637cos(θ＋φ)＋46∈[46－637，46＋637]， →→ 故|2AP＋BP|的最大值为46＋637＝3＋37， 最小值为46－637＝37－3. - 9 -