“行健杯”数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： C
参赛队员 (打印并签名) ：1. 蔡亚刚 理学院 10144287 2. 程丽 理学院 10144216 3. 周金刚 理学院 10144281 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
日期： 2015 年 4 月 6 日
评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
“行健杯”数学建模竞赛
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评 阅 人 评 分 备 注 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
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评阅编号：
交通量优化配置的非线性规划模型
摘要：城市交通拥挤现象是城市交通规划最为明显的失策现象之一。从某种程度上说，城市交通拥挤现象是汽车社会的产物，特别是在人们上下班的高峰期．交通拥挤现象尤为明显。“据统计，上海市由于交通拥挤，各种机动车辆时速普遍下降，50年代初为25km 现在却降为15km左右。一些交通繁忙路段，高峰时车辆的平均时速只有3—4km。交通阻塞导致时间和能源的严重浪费，影响城市经济的效率。”城市交通拥挤现象是现代我国大中城市存在的普遍问题．由于公交车、小汽车流量较多，加上餐饮业商贸功能聚集，使本来就不宽的道路变得拥挤不堪，给进行物资运输，急救抢险，紧急疏散等状况带来不便。其中，城市各路段交通流量的合理分配可以有效缓解道路发生拥挤。 接下来，我们将模拟一个交通网络，
针对两点之间的交通量优化配置问题，利用非线性规划建立了最优化行驶方案的模型，使交通流量达到最优化配置以解决部分由流量不均而导致的交通堵塞问题。 问题一中，将车辆的有效行驶路径定义为向右向下行驶的路径，基于此建立有效路径搜索算法并求解得8条有效路径。分别为：
J??1： 1??2??3??4??7??0；J??2： 1??2??3??6??7??0；J??3： 1??2??3??6??10??0；J??4： 1??2??5??6??7??0；J??5： 1??2??5??6??10??0；J??6： 1??8??9??10??0；J??7： 1??8??9??5??6??7??0；J??8： 1??8??9??5??6??10??0；
问题二中，假设车子单辆行驶且所有有效路径都被利用，首先建立密度与速度、速度与路段车辆数的基本函数，并由此得到各路段行驶时间关于各路段车辆数的模型。按优化方案中要求各条路径行驶时间最短的目标，并且以每条路径耗时相等和各节点总流入车辆数与总流出车辆数相等为约束条件，建立非线性规划模型。
问题三中，基于问题二中建立的模型，根据已知的车辆数条件，并对最大速度、最大车辆密度和路段长度进行合理假设代入模型中，并用MATLAB编程求得近似最优分配方案：路径一1475辆；路径二600辆；路径三0辆；路径四1346辆；路径五0辆；路径六2154辆；路径七0辆；路径八412辆。
在上述模型中，仅考虑了路段单位长度车辆数对速度的影响，而忽略了横向路段宽度对通行速度的影响，且实际生活中有效路径往往不会被同时利用。由此本文又考虑了路段最大车流量，并引入了美国BPR函数，得到路段出行时间关于实际车流量的函数，并以各条路径行驶时间最短为目标，根据用户均衡分配原理，以流量平衡为约束条件，建立一个非线性规划模型更接近实际情况。 【关键词】：非线性规划 用户均衡分配 车流量平衡 网络图 MaTLab
一 问题重述
某区域道路网络如图1所示，每条道路等级完全相同，某时间段内，有N辆车要从节点1出发，目的地是节点0（假设该时间段内，路网中没有其它车辆）。在该时间段内，道路截面经过的车辆数越多，车辆在该路段行驶的速度就越慢。
（1）确定有效的行驶路径及其算法；
（2）确定每条路径上的通过的车辆数，使N辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小；
（3）N=6000，请给出具体的计算结果。 （注：横向路段长度是纵向路段长度的2倍）
12345678990
图1：某区域道路网络图
二、模型的假设
（1）在每个路段上车辆都为单辆路道行驶，无并排车辆，且不允许超车； （2） 源点1是以最大流量向两条路发车；
（3）假设每一条有效行驶路径上都有车通过；
（4）假设车辆的最大行驶速度为120km/h，纵向路段长为300km；
（5）道路截面经过的车辆数与车辆在该路段行驶的速度成反比例函数关系v=k/I； （6）车流密度均匀不变d??t?/dt?o???constant； （7）各环路两条支路对时间负载均衡。
三、符号说明
（其中a和b取值都为0,1,2?,10，且节点b为节点a的后继节点） a,b:路网中节点的标号
ax :第a个节点的横坐标
ay :第a个节点的众坐标 bx :第b个节点的横坐标
1
by :第b个节点的众坐标
s(x):第b个节点的横坐标与第a个节点的横坐标之差 s(y):第b个节点的众坐标与第a个节点的众坐标之差
i :表示在第i段路径上
I :该路径上的车流数量
H :某条路径上的车辆数 N :总的车辆数
V :该路径上的车辆速度 Q :该路径上的车流量
? :该路径上定义的平均密度ρ?L :该段路径的长度
I?const LTj :路径j到达终点的总时间
k :反比例系数
t :通过该段路径所用的时间
四、模型的分析与建立
问题一
4.1.1 问题的分析
问题所要解决的是定义有效行驶路径，并给出相应的算法确定有效的行驶路径。在一个较大的网络中，每一个OD对之间都有很多的行驶路径，但是在实际网络配流中，有很多路径是明显不会被出行者考虑的，出行者只在一部分“合理”路径（有效行驶路径）中进行选择。因此，在分配前必须先确定每一对OD之间的有效行驶路径。 我们先假设有效行驶路径应为无重复、折回的行驶路径，即行驶方向始终朝向目的地，即向右向下行驶的路径。要找到有效行驶路径，可以利用图建立直角坐标系，以节点1为原点，向右为x轴的正方向，向下为y轴的正方向，这样路网中的每一个节点都可以用相应的坐标来表示。因此，有效行驶路径通俗的解释是：从路段的起始节点走到终止节点后，终止节点离起点更远，同时离终点更近。如某一路段(a,b)是否位于有效路径上可以用s(x)和s(y)来判断，当满足s(x)?0（其中s(x)?bx?ax）或者s(y)?0（其
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