J??1： 1??2??3??4??7??0；J??2： 1??2??3??6??7??0；J??3： 1??2??3??6??10??0；J??4： 1??2??5??6??7??0；J??5： 1??2??5??6??10??0； （4-11）
J??6： 1??8??9??10??0；J??7： 1??8??9??5??6??7??0；J??8： 1??8??9??5??6??10??0；根据新的有效路径再列出积分方程组:
?J??1：kt??2I??2I??3I??I?114511??J??2：kt??2I??2I??I??2I??I?2146811??J??3：kt3??2I1??2I4??I6??I10??2I13???J??4：kt4??2I1??I3??2I7??2I8??I11????J??5：kt5??2I1??I3??2I7??I10??2I13? （4-12） ??J??6：kt6??4I2??2I12??2I13???J??7：kt7??4I2??I9??2I7??2I8??I11???J??8：kt8??4I2??I9??2I7??I10??2I13???kt?kt2??kt3??kt4??kt5??kt6??kt7??kt8???1节点方程组:
?I??I??N2?1?I1??I3??I4??0??I4??I5??I6??0??I3??I7??I9??0????I6?I7??I8??I10??0 （4-13） ??I5??I8??I11??0??I2??I9??I12??0???I10?I12??I13??0??I?I13??N??11用matlab解出I得：
8
I1??0.62500NI2??0.37500NI3??0.26786NI4??0.35714NI5??0.23214NI6??0.12500NI7??0.28571NI8??0.28571NI9??0.01785NI10??0.12500NI11??0.51785NI12??0.35714NI??0.48214N 13下面列方程求解每条路径上的分配量：
??I1??H1?H2?H3?H4?H5??I2??H6?H7?H8??I3??H4?H5??I4??H1?H2?H3??I5??H1??I6??H2?H3??I7??H4?H5?H7?H8??I8??H2?H4?H7??I9??H7?H8??I10??H3?H5?H8??I11??H1?H2?H4?H7?I12???H6??I13??H3?H5?H6?H8?N?H1?H2?H3?H4?H5?H6?H7?H8
9
4-14）
（4-15）（
H1?0.23214NH2?0.125NH3?0H4?0.26785NH5?0H6?0.35714NH7??0.10714NH8?0.125N （4-16）
4.3问题三
4.3.1 问题的分析
要使得车在该路网中总的行驶时间最短，就需要将一些已知的数据带入问题二所构建的非线性规划模型中。因此将问题三中的N=6000和假设的一系列数据，代入模型，通过MATLAB软件即可编程进行求解。
4.3.12模型求解
将已知的数值带入问题二中的非线性模型，然后通过MATLAB软件进行编程求解。通过编写的M函数文件，直接调用MATLAB工具箱中的函数，最终求得每个路段上的车流量，结果如表4.2所示。
表4.1 每个路段的车流量 路段 车流量 路段 车流量 路段 车流量 I1? 3750 I2? 2250 I6? 750 I7? 1714 I8? 1714 I11? I12? 3107 2143 2893 I3? 1607 I13? I4? 2143 I5? 1393 I9? 107 I10? 750
由于问题要求的是每一条有效路径上的车流量，因此将MATLAB求得的结果进行转化后可求得每条有效行驶路径上的车流量，结果如表4.3所示。
表4.2 每条有效路径的车流量 行驶路径 通过的车辆数（辆） J??1 1??2??3??4??7??0 1475 J??2 1??2??3??6??7??0 600 J??3 1??2??3??6??10??0 0 J??4 1??2??5??6??7??0 1346 J??5 1??2??5??6??10??0 0 10
J??6 J??7 J??8 1??8??9??10??0 1??8??9??5??6??7??0 1??8??9??5??6??10??0 2154 0 412 五、模型的评价
在上述模型计算路段行驶时间时，存在以下不足：
（1）其速度根据与车流数量的反比例关系求得，再通过公式计算行驶时间，引入的速度变量没有最大值显然与事实不符；
（2）问题一中我们采用假设的方法提出7条有效路径，在此基础上我们用问题一的七条路径列出积分方程，求解发现假设的不合理性，进而提出8条新的有效路径继续求解，模型欠妥。
（3）模型直接得到的是路段的车流负载量，要通过负载量再求出每条路径的车流数量。而没有考虑到他们之间的逻辑关系，根据计算的结果也可以看出路段的理想车流负载情况在逻辑上是不可能分配给我们提出的8条有效路径。在实际分配中我们将负值得路径分配量直接令为0，这样实际结果是达不到各路段的了理想车流负载量的。
（4）我们将流量模型近似的看作质点模型 （5）我们忽略了所有的外界因素 在模型中，我们的优点有：
（1）速度与车流量之间采用反比例关系，比较准确地拟合实际情况中的车流量越大，则实际速度越小；
（2）使用用户均衡分配，能比较准确地找到最优化分配方式，可以简化问题，为建立模型提供一个比较优越的环境；
（3）采用假设法去寻找车辆可能的路径，能够优化解题，避免了盲目求解；
（4）从实际问题出发，又通过假设从实际问题抽化出来成为比较理想的问题，同时准确利用各种资源比较准确的与实际情况拟合；
（5）对于问题二我们模拟了动态车流情况以及各环路两条支路对时间负载均衡。
六、模型的改进
针对模型评级中提出的问题，本文提出改进方案。
一般而言，路段出行时间ti与路段流量Ii表现为一定的函数关系：ti?Ii?，且一般为非线性关系，根据美国BPR (Bureau of Public Roads) 函数，假设路段出行时间函数为：
?Ii??ti?T1?0.15??? ??ki?????i????4? （6-1）
其中，Ti为路段i无任何车辆时的行驶时间，与路程的长度成正比；ki为路段的最
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大交通流量。因为每条路段流量为路径通过流量之和，故两者关系式如下：
Ii??fj?ij,?i?L （6-2）
j?J其中，fj为路径j的车流量；?i,j为0-1开关变量，当路段i为路径j的一部分时
?i,j?1，否则?i,j?0。路径j的行驶时间为通过路段行驶时间之和，可表示为：
Hj??ti?i,j （6-3）
i?j用户均衡分配原理：在用户均衡状态下，全部用户都选择行驶时间最小的路径行动，其结果达到“在网络任何OD对（起讫点）间的所有路径中，被利用路径的行驶时间都相等，并且小于或等于没有被利用路径的行使时间”。则满足
当fj?0时，Hj?H,?j?J （6-4） 当fj?0时，Hj?H,?j?J （6-5）
其中，H表示起讫点间最短路径的行驶时间。根据用户均衡分配原理，可构造等价最优化数学模型：
minZ???ti?I?dIi?L0Ii??fj?N?0 （6-6） ?j?Js..t??Ii??fj?i,j,?i?Lj?J?目标函数中ti?Ii?为ti与Ii的函数关系，将其代入BPR的函数式，?ti?I?dI为各路段
0Ii行驶时间，最终表达式结果为各路段行驶时间之和最小。
根据上述模型结合本文问题，设路段流量Ii为未知变量，则
minZ???i?LIi0?Ii5?ti?I?dI?minZ???Ti?Ii?0.03?4?ki?i?L? （6-7）
根据公式（6-6），结合本题条件，可得最终约束条件为：
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?I1?I2?N?I?I?I?0?134?I4?I5?I6?0??I3?I7?I9?0??I6?I7?I8?I10?0 （6-8） ??I5?I8?I11?0??I2?I9?I12?0?I10?I12?I13?0??I11?I13?N 由于Ii代表第i段的车流量，所以Ii为非负整数，故：
Ii?0,且Ii为整数 综合公式（6-7）、（6-8）和（6-9），可得最终的交通量分配模型：
??minZ??Ii5????Ti?Ii?0.03?4?i?L?ki???I1?I2?N?I1?I3?I4?0??I4?I5?I6?0?I3?I7?I9?0s..t??I6?I7?I8?I10?0 ??I5?I8?I11?0??I2?I9?I12?0?I10?I12?I13?0??I11?I13?N?Ii?0,且Ii为整数?i?1,2......13???
参考文献：
[1]《离散数学》上海科学技术出版社
[2]《工程数学线性代数》同济大学出版社 [3]《高等数学》同济大学出版社
[4]城市动态网络交通流分配及相关问题的研究_连爱萍
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（6-9）
6-10） （