二、方程(组)、不等式(组)及其应用
徐英 吴江区菀坪学校
【近三年江苏省十三大市中考方程(组)、不等式(组)及其应用分值与比率】
(仅供参考)
年份 2011年 2012年 分值(分) 25 17 18 14 23 16 19 9 17 19 21 16 22 18.15 比率(%) 20.83 13.08 13.85 9.33 19.17 10.67 12.67 6.00 11.33 12.67 14.00 13.33 14.67 12.97 2013年 分值(分) 16 17 18 19 17 21 21 8 12 22 16 18 16 比率(%) 13.33 13.08 13.85 15.83 14.17 14.00 14.00 5.33 8.00 14.67 10.67 12.96 10.67 12.35 地区 分值(分) 比率(%) 南京市 苏州市 无锡市 常州市 镇江市 扬州市 泰州市 南通市 盐城市 淮安市 宿迁市 徐州市 连云港市 平均 12 14 18 9 21 21 14 19 22 15 14 10 18 15.92 10.00 10.77 13.85 7.50 17.50 14.00 9.33 12.67 14.67 10.00 9.33 8.33 12.00 11.53 17.00 【课标要求】
1．方程(组)及其应用
(1)能够根据具体问题中的数量关系，列出方程(组)，解决简单的具体问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
(2)经历用观察、画图等手段估计方程解的过程；
(3)会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程(方程中分式不超过两个)、简单的三元一次方程组、二元二次方程组(一个二元一次方程和一个二元二次方程组成)；
(4)理解配方法，会用因式分解法(十字相乘法)、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
(5)掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用； (6)能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 2．不等式(组)及其应用
(1)能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质；掌握不等式及其基本性质；
(2)会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组；
(3)能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题. 【课时分布】
方程(组)、不等式(组)部分在第一轮复习时大约需要9个课时(包括单元测试)，下表
为内容及课时安排(仅供参考)： 课时数 1 1 1 1 1 1 1 2 分式方程 一元二次方程的解法、简单的二元二次方程组 一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系 方程(组)的应用 不等式的基本性质、不等式(组)的解法 不等式(组)的应用、不等式(组)在实际问题中的应用 单元测试与评析 内 容 一元一次方程、二元一次方程组、简单的三元一次方程组 【知识回顾】 1． 知识脉络
方程(组)及其应用部分: 一元一次方程 整 式二元一次方程 二元一次方程方 方程程 （三元一次方程 三元一次方程实 组方）际 的问 一元二次方程 程应题 用 二元二次方程 二元二次方程分 式 方程 不等式(组)及其应用部分： 用不 不等式的性质 （用等实不 组际式） 一元一次不等式 问等组题 的式 一元一次不等式组 应
2．基础知识
方程(组)及其应用部分 (1)方程的有关概念
含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程. (2)一元一次方程
①只含有一个未知数，且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次程．对于一元一次方程，要抓住“一元”、“一次”两个关键和“整式方程”这一要素．它的一般形式为：
()ax?b?0(a,b为常数，且a?0)；
②一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
③特别提醒：在解一元一次方程时，由于对等式性质的理解不够深入，会造成一些错误，如移项时忘记变号；去分母时漏乘不带分母的项；去括号，括号前是“?”时忘记变号；采用除法将系数化为1时，被除数和除数颠倒． (3)一元二次方程
①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2?bx?c?0(a,b,c是已知数，a?0)，其中ax2,bx分别叫做二次项，一次项；a,b,c分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项；
②一元二次方程的解法.其基本思想是降次．其常用方法:直接开平方法、因式分解法(十字相乘法)、公式法、换元法、配方法；
③一元二次方程ax2?bx?c?0(a,b,c是已知数，a?0)的根的判别式(??b2?4ac)： (a)当??0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； (b)当??0时，一元二次方程有两个相等的实数根； (c)当??0时，一元二次方程没有实数根． 以上结论，反之亦成立；
④一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：若一元二次方程ax2?bx?c?0（a，b，c是
bc已知数，a?0)的两根为x1、x2，则x1?x2??,x1?x2?（此知识点为苏州市要求选
aa学内容）；
⑤提别提醒：解一元二次方程时不要盲目运用配方法，有时候会令计算繁琐；利用公式法求解时，确定各项系数要注意符号；利用根与系数的关系求待定字母值时，要检验?及二次项系数a?0的隐含条件. (4)分式方程
①分母中含有未知数的方程叫做分式方程； ②分式方程的解法．其基本思想是将分式方程转化为整式方程．其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根；
③特别提醒：去分母时不要漏乘整数项；不要忘记验根；用换元法可简化运算时优先选用换元法．
(5)二元一次方程(组)
①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程；
②含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组；
③由几个方程所组成的一组方程叫做方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组；
④二元一次方程组的解法．其基本思想是消元．其基本方法是代入消元法和加减消元法； ⑤二元一次方程的整数解问题： 由于二元一次方程的解不唯一性(无数多个)，在实际生活中有较多的例子需要求出二元一次方程的整数解；
⑥二元一次方程组的检验法： 常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足组内的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中任何的一个方程，那么它就不是方程组的解． (6)三元一次方程(组)
①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程；
②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组；
③三元一次方程组的解法．其基本思想仍是消元．其基本方法仍是代入法和加减法；
消元 消元 三元一次方程组 二元一次方程组一元一次方程 (7)二元二次方程组(一个二元一次方程、一个二元二次方程)
①含有两个未知数，且未知项的最高次数为2的整式方程叫做二元二次方程；
②含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组；
③二元二次方程组的解法．其基本思想是消元、降次．其方法主要是代入消元法．
(8)列方程(组)解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直(间)接未知数；④列出方程(组)；⑤解方程(组)；⑥验方程(组)的根；⑦答出完整的语句．
不等式(组)及其应用部分 (1)不等式的有关概念
①用不等号表示不等关系的式子叫做不等式； ②使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；
③不等式所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集； ④求不等式的解集的过程,叫做解不等式. (2)不等式的基本性质 ①不等式的性质1：
不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.如果a?b,那么a?c?b?c,a?c?b?c；
②不等式的性质2：
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 如果a?b,并且c?0,那么ac?bc； ③不等式的性质3
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 如果a?b,并且c?0,那么ac?bc. (3)一元一次不等式
①只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式；
②解一元一次不等式与解一元一次方程的方法相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.特别要注意当系数化为1时,如果不等式两边同乘以(或除以)的是同一个负数,不等号的方向必须改变； ③一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:
xa
x≤aaa x≥a
(4)一元一次不等式组
①几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组； ②解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出解集的公共部分；
③由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集，在数轴上直观表 示的方法有四种情况，如下: 若a?b,则
?x?a,?x?a,①?的解集是x?b，如下图： ②?的解集是x?a，如下图：
x?b.x?b.??
a b a b
?x?a,?x?a,③?的解集是a?x?b，如下图： ④?无解，如下图：
x?b.x?b.??
a b a
b
(7)不等式(组)的应用
解不等式(组)的应用问题关键是使学生从实际问题中抽象出数量关系，建立不等式模型,即：会根据题中的不等量关系列出不等式(组)；在列不等式(组)时候，还要密切关注题目中的不等关系，如“至少”、“至多”、“不大于”、“不少于”.
3．能力要求
例1 解下列方程： (x?1)2x?12x1??2?0 (1) x?3x?2?0 (2) (3) ?1?xx?22?xx2【分析】
第(1)题根据一元二次方程的几种解法，不能运用直接开平方法和因式分解法，考虑配方法或公式法．
第(2)题为分式方程，将方程两边同时乘以x?2得到一个一元一次方程，要注意的是2?x与x?2互为相反式，分式方程需要检验是否产生增根．
2第(3)题方程两边同乘以x2，直接去分母可以化为整式方程，但通过观察方程特点，此题采用换元法较为简便． 【解】
(1)解法一：原方程化为： x2?3x?2
317?3??3?配方，得 x2?3x????2???.整理，得(x?)2?
24?2??2?∴x?317317317??，即x2???，x2???． 22222222解法二：a?1，b?3，c??2. ∴b2?4ac?32?4?1?(?2)?17