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多变量灰色预测模型在建筑物沉降观测中的应用 羡丽娜, 张 彬 1
1 1辽宁工程技术大学土建学院, 123000
E-mail:xln.0220@tom.com
摘 要：本文采用多变量灰色模型对建筑物沉降观测数据进行处理，并通过工程实例将预测
结果与实测数据对比，说明多变量灰预测色模型的准确性，预测精度较高，尤其适用于多点
变形的整体预测预报。满足工程需要，具有重要的工程意义和经济价值。 关键词：建筑物；沉降观测；多变量灰色模型；灰色预测。 1. 引 言
随着建筑行业的迅速发展，对房屋建筑地基进行沉降观测 ,具有极为重要的作用。通过
观测 ,可了解房屋建筑的质量 ,安全可靠性 ,可鉴定地质勘察是否正确等 ,并为今后的设
计提供宝贵的经验 ,特别是应用沉降预测的方法 ,能及早发现工程不均匀沉降及其对建筑
的影响 ,以采取措施 ,避免出现不良后果。灰色预测则可以帮助我们提前了解未来将要发生 的变形。
但目前采用的大多数预测模型都局限于单点[4，6]建模和预测。由于GM(1 ,1) 模型仅
用1 个时间序列数据建模预测,当存在多个相互影响或关联的变量时,就无法反映它们之间
相互影响、制约和协同发展的情况；而GM（1，n）模型又主要描述变量之间的相互关系,是
一种状态模型,不用于预测。为此,可以采用MGM（1，n）模型,它是GM (1 ,1) 模型在n元
多变量情况下的推广,但不是GM(1 ,1) 模型的简单组合,也不同于GM（1，n）模型只建立1
个n 元一阶微分方程,而是建立n个n元微分方程。通过联立求解，使所得的模型参数能满
足多变量的相互关系，最终使预测的值更符合实际。因此本文通过对单变量灰色模型的扩展，
导出多变量灰色预测模型，应用多点预测模型进行沉降预测，同时结合典型的工程实例做了
验证，取得了令人满意的结论。
2. 多变量灰色模型MGM（1，n）的建模及预测 2.1 建立模型
建模时首先将原始观测数据序列xi{(0)(k)} (k=1,2,L,m;i=1,2L,n),（n为建筑物 沉降观测点的个数，m为相应的观测周期）进行累加生成处理，其一次累加生成序列为： xi(1)(k)=∑xi(0)(j)), 式中 ：k=1,2,L,m;i=1,2,L,n。
j=1
[1,5]k考虑ｎ个点相互关联和相互影响,对此生成序列建立ｎ元一阶常微分方程组 ：
- 1 -
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dx1()=a11x1(1)+a12x2(1)+L+a1nxn(1)+b1dt
dx2(1)=a21x1(1)+a22x2(1)+L+a2nxn(1)+b2 （1） dt1 M
dx(1)
n=a(1)1+L+a(1)
dtn1x1+an2x()2nnxn+bn dX(1)
写成矩阵形式： dt=AX(1)+B （2） ?a12La1n??x(1) ?a11 a??1( ?b1?t)?
式中：A=?a2122La2n?b???x(1)(t? ???LL?， B=?2?， X(1)(t)=?2)?
?an1a?? ??M?
b??M? （3）
?
n2Lann??n???x(1)? n(t)?
由积分生成变换原理 , 对（2）式两边左乘e?At得 ： e?At??dX(1)
?AX(1)??=e?AtB
?dt?
在区间[0,t]上积分 ,整理后有 ：X(1)t=eAt(X(1)(0)+A?1B)?A?1B 式(4)即为生成序列模型的一般形式。
2.2 求解模型参数A和B的辨识值A?和B? 通过对式(4)离散化 , 得时间相应函数为： X?(1)(k)=eA?(k?1)(X?(1)(1)+A??1B?)?A??1B? 式中： eA?(k?1)∞ =I+∑A?i(k?1)i i=1i! （6）
∧
并由最小二乘法得到估值，H=(LTL)?1LTY （7） ?1)(2)(1) ?(2)L1)(2)1?
式中： L=?(1)1)(1)? ?(3)(3)L(3)1?? ??LL?
?1)(m)(1)(m)L(1)(m)1?? - 2 - （4） （5） http://www.paper.edu.cn ?11?a?x(0)(2)x(0)(2)Lx(0)(2)? ????a12
0)0)0)(((??x(3)x(3)Lx(3)? ?=?Y=?? H
?LL???1n?a?(0)?(0)(0) ???x(m)x(m)Lx(m)? ?b1
其中：i (1)
?21La?n1?a ?22La?n2?a? ? LL ?
?2nLa?nn?a ?Lb??b2n? 1?(1)(1)
xk+x ()(k?1)?ii?? (i=1,2,L,n;k=2,3,L,m) （8）2 ?和B?阵中即可得到A和B的辨识值A?： 从式（6）H (k)= ?11?a
??a21??A=???n1?a
???b?12La?1n?a1????2n??22Laa? B?=?b2? （9） ???LL ?M??
?n2La?nn??ba?? ?n?
2.3 预测模型 ?将式(5) X
(1)
??1B??1B? ?(1)(1)+A?)?A(k)=eA(k?1)(X ?
?作累减还原有；X?当 k (0) (0) ?(1)(k)?X?(1)(k?1) (k=1,2,3,L) （10） (k)=X ?(0)(k)为滤液值； k>m时，X?(0)(k)为(k)为模拟值；k=m时，X 2.4 模型的平均拟合精度 σ2= 式中：残差vi(k)=xi (0) ∑V i=1 n T i Vi （11） T nm ?i(0)(k)； Vi=?(k)?x?vi(1),vi(2),L,vi(m)?? (i=1,2,L,n;k=1,2,L,m) 3. 计算步骤 （1）写出原始序列X (0) ； （2）求一次累加生成序列X(1)； （3）按公式（8）计算一次累加均值序列(1)； （4）按式（7）建立数据矩阵L及数据列阵Y； ?、B?； （5）由步骤（4）及公式（9）进行矩阵运算求得模型参数A ?(1)，按式（10）累减还原预测模型并计算X?(0)； （7）按式（5）建立模型，计算和预测X （8）计算残差向量Vi和精度评定。 - 3 - http://www.paper.edu.cn 4. 预测建筑物基础沉降的工程实例 某公司办公楼为十层框架结构，建筑面积为7230m，基础采用振冲碎石桩加固，因该地区缺乏采用振冲碎石桩加固经验，所以本工程进行了严格的沉降监测，并根据具体情况设置了4个观测点（即变量个数n=4）对其沉降累计值进行建模并预测。观测资料以两周为一周期，采用8个周期的累计沉降值序列。其中前6个周期用来建模，后两个周期用来检验预测值的准确性。 2 观测点初始观测序列为： X(0)?????=????????56558976121310111718151419211716232720192431232227322423?????? ??????? 55??56??13151211?? (1)?25282222?其一次累加生成序列为：X=?? ?42463736??61675452???84947471???? 计算一次累加均值序列可得出矩阵L和Y：