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f(P)?0 (2.4)
P??log(P)lim值得指出的是：没有确定所有已知CSI的高斯网络，自由度必须包含在它的容量区域限制内。但是，作为通信网络中测量可达信号维度的度量，自由度的意义被广泛认可。
考虑点对点高斯信道：Y?HX?N。在每次信道使用中，Y是输出符号，H是信道参数，X是信道输入符号，是加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise，AWGN)，所有符号都是复数；输入满足功率约束条件E[|X|2]?P；整个过程中，服从独立同分布，且是循环对称复高斯变量Ne(0,?2)。Shannon给出了如下加性高斯白噪声信道的容量公式：
?|H|2?C?log??1?P?2??
??也可表示为：
(2.5)
C?log(P)?o(log(P)) (2.6)
可以看出，该信道有1个自由度。值得注意的是，由于信道系数H和噪声功率?2不受P约束，所以它们与这种近似表示无关。
若有M个并行AWGN信道：Ym?HmXm?Nm，输入符号满足功率约束条件：
1M?E[|X|m?1M2m]?P (2.7)
2噪声功率为?m,m?{1,2,...,M}且独立同分布，所有信道参数非零，很容易得
到这些信道的总容量为：
C?Mlog(P)?o(log(P))
(2.8)
也就是该信道有M个自由度。该结果再一次显示，自由度仅与信道数量有关，而与噪声功率和信道强度无关。
经过研究，现在已经确定了各种分布式多用户MIMO系统的自由度，如两用户MIMO X信道(用户间无信息共享)，认知干扰和X网络(网络中共享部分信息)以及K用户MIMO高斯干扰信道等。两用户MIMO干扰信道的最大自由度为
min{min{M1?M2,N1?N2},max(M1,N2),max(M2?N1)}，其中，M1，M2分别表示
N1用户1和用户2的发射天线数，
N2分别表示用户1和用户2的接收天线数。
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当
max(M,N)?R，且R为整数时：
min(M,N)min(M,N)K??DoFR总??min(M,N)K?R?1?
K?RK?R (2.9)
可以看出，当K?R时，每个用户可获得的自由度是min(M,N)，不会因干
扰而造成自由度损失，可达的信道容量可过迫零滤波和波束成形来得到。而当
1。 K?R时，因为干扰引起的自由度仅占总自由度的
R?1 将自由度理解为信号维度很便捷，例如，1信号维度对应于一个无干扰AWGN信道，信噪比随着功率P的增加而增加。自由度又被命名为复用增益，因为它表征了信号在空间中被复用的次数。进一步而言，根据Nyquist-Shannon釆样定理，当用带宽为B的边带(每个边带的带宽=B/2)无线频谱来发射符号时，每个符号可以表示为单位时间内的B个釆样点。在功率受限和噪声电平的条件下，每个釆样点可以被认为是一个携带1自由度 信号维度。所以，自由度可以被等价理解为复用增益、信号空间维数、带宽或者容量预对数系数。
2.7反馈
发射端要对信号进行预处理，必须获知信道状态信息，主要通过利用无线信道对称性原理和利用反馈信道这两种途径。在时分分双工系统中，因为上行链路的对称性和可逆性，下行链路的信道冲击响应可通过在发射端对上行链路进行估计获得。但对于频分双工系统，由于上下行链路在不同的频率上，之间的相关性非常低，所以若发射机想获得信道状态信息，只能通过接收端对下行链路进行信道估计，再反馈给发射机。
反馈分为完全反馈和有限反馈。前者因为其占用的信道资源过多并不实际，后者仅反馈较小比特数的部分信道信息，常用于各类设计和实际系统中。有限反馈中反馈的比特数随具体的方案而定，若信道中存在如空间干扰、符号间干扰、多用户干扰等各种形式的干扰时，反馈的比特数将增大。通过过去对有限反馈技术的多年研究，现在有限反馈已能达到近似完全反馈的性能。
基于有限反馈的预编码技术的基本思想是：移动终端按照某准则从预先设计好的码本中选择最匹配于信道信息的码字，通过专用的有限反馈信道将码字编号反馈给鞋站，基站根据该编号从码本集合中选择相应的预编码矩阵对发送数据进行预编码。
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第三章 K用户的干扰对齐
传统的干扰对齐算法对于CSI的要求比较严格，发送端接收端了解全局的CSI的经常的事。而对于分布式干扰对齐算法，发送端需要了解的只是局部信道状态信息，这样就用于交换的CSI的量就大幅度减少了，但可是，由于需要迭代执行，所以时间损耗较大。本章主要研究非精确CSI下的K用户干扰对齐解决方案，介绍了K用户干扰对齐闭式解及其成立条件，由于篇幅限制，只给出了K用户通信环境下分布式算法的实现。
3.1 研究背景和目的
干扰对齐在信道中获取完整地信道状态信息可以获得最大自由度，然而，在实际实现时会大幅度消耗传输资源，在一定程度上降低了系统的容量。而在有限传输功率、获取了非理想信道状态信息的情况下，进行干扰对齐往往会显得高效简单。
对于单天线的用户的干扰信道(如图2-1)，文献[6][7]证明了可以实现K/2的DoF，但只在3个用户的情况下给出了解，并没有给出这个DoF上界的闭式解。对于K数目大于3的情况，文章也只给出了解的形式，具体实现需要很长的码字扩展，并且有这样的实现前提：每个收发端都要了解全局的CSI，显然实现上资源损耗和占用非常大。自然而然地，基于最小化泄露倍号的(Minimum Leakage interference，MIN Leakage)和最大化信干燥比(MAX-SINR )的迭代IA方案在文献[9]中被提出，通过最小化干扰的泄露功率，迭代的求出发端预编码和收端解码器矩阵。并且只需要知道局部信道状态信息(local CSI)就可以得到到干扰对齐DoF的解。文献[10]也给出了相似的解，并将这种方案解释为交替最小化算法。也就是，通过固定其他变量，优化某一个选定的变量，从而交互迭代求出全局似优解。这种方案可以有效地消除用户间的干扰。对于自身用户发送若干个信号流的时候，自身的倍号维度得不到保证。之前文献[6，8，9]给出了有效的解决这种问题的方法。
本章介绍K用户干扰信道模型，给出K用户的闭式解，对只需要获取局部状态信息的K用户干扰对齐研究了几种算法，而这将对第四章介绍蜂窝系统下的IA算法做出很好的铺垫。
3.2 K用户干扰对齐
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3.2.1 K用户系统模型
图3-1 k用户的MIMO高斯干扰模型
从图3-1可以看出，考虑K用户的MIMO高斯干扰信道的系统模型，其中有K对收发端，其中发送端j的天线数目为Mj，，接收端k的天线数目为Nj。发送端j和接收端k的直连信道矩阵为Hij?CNk?Mj。我们假设使用瑞利衰落信道模
型，每一项矩阵元素(Independent Identically Distributed，i.i.d)都是复高斯随机变量，并且服从独立同分布，也就是服从CN(0,1)。发送端k发送的数据
?是Dk?1的向量，可以表示为dk?[dk(1),dk(2),?,dk(Dk)]T，并且Dk?min(Mk,Nk)表示发端k的DoF，其中k?1,2,...,K。相应的预编码矩阵可以表示为
Vk?[Vk(1),Vk(2),...,Vk(Dk)]，Vk?CMk?Dk。因此，发端k相应的Nk?1的接收倍号可以表示为：yk??Hkjxj?nk
j?1K
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其中，nk表示元素服从i.i.d的复数高斯变量，也就是CN(0,?2)。发送端j的
Mj?1的发送向量xj表示为：xj??Vj(i)d(ji)?Vjdj，其中xj为以下条件所限制，
i?1DjE{tr[xjxHj]}?Pj，Pj表示j的功率。
3.2.2 K用户闭式解
干扰对齐技术的基本思想就是使用预编码矩阵将干扰对齐在有限的维度内，将有效信号和干扰区分在不同的子空间内，是干扰和有效信号独立开来，从而有效的利用系统所提供的有限维度。文章[13]最初给出了三个用户的干扰对齐的闭式解。具体过程如下在发端1，将发端2和发端3的干扰对齐在相M子空间内，也就是：
H12V2?H13V3
(3.1)
这时候，可以得到V2?(H12)?1H13V3。在发端2，通过将来自用户1和用户3的干扰对齐在一个子空间内，也就是
H21V1?H23V3 (3.2)这时候，可以得到V1?(H21)?1H23V3。同样的，在发端3，通过将来自用户2和用户1的干扰对齐在一个子空间内，也就是
H31V1?H32V2
(3.3)
这个时候，通过发端1和发端2给出的解代入，可以得到；
H31(H21)?1H23V3?H32(H12)?1H13V3
(3.4)
综上，可以得到，V3?eig((H23)?1H21(H31)?1H32(H12)?1H13V3)。其中，A?B表示，
span(A)?span(B)。
对于K用户的干扰对齐方案，Jafar等人只是给出了三个以及三个以下用户的闭式解，对于用户数目大于三的时候，通过符号扩展，给出了可以实现的DoF的上界，，符号扩展，对于三个用户的SISO系统来说来说，也就是在2m?1个符号周期内，发端1可以实现的自由度为m+1，发端2可以实现的自由度为m，发端3可以实现的自由度为m，；当m趋于无穷的时候，每个用户的自由度平均为1/2。似对于实际系统中，对于这么长的符号扩展周期，实际系统中很难实现。因此，才会有接下来的基于迭代的干扰对齐方案。
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