n2nnn
y－4＝2(x－n)，令y＝0，则x＝2，即an＝2；(3分)
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，则：an＋cn＝2n，∴cn
3n
＝2n－an＝2 (5分)
n2
(2)若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，则|AnCn|＝2bn?n＝2?n＝2，∴存在n ＝ 2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形 (9分)
111411
(3)∵3＝n33n＝3＝3(n－)(11分)
n＋1
an·(2＋cn)2(2＋2)4n(n＋1)411111414∴Sn＝(1－＋－＋?＋－)＝(1－)<
3223nn＋13n＋13141
又1－随n的增大而增大，∴当n ＝1时Sn的最小值为：3(1－)＝
n＋11＋1
23，
24
∴3≤Sn<3(13分)
21.(本小题满分13分)
解：(1)当a＝0，b＝3时f(x)＝x3－3x2，∴f′(x)＝3x2－6x，
∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， (2分) 所以f(x)在0和2处分别达到极大和极小，由已知有
t<0且t＋3>2，因而t的取值范围是(－1,0). (4分)
f(x)
(2)当a＝0时，x＋lnx＋1≥0即x2－bx＋lnx＋1≥0
lnx1lnx11
可化为x＋x＋x≥b，记g(x)＝x＋x＋x(x≥2)，
1－lnx1x2－lnx
则g′(x)＝1＋x2－x2＝x2.(6分)
12
记m (x)＝x－lnx，则m′(x)＝2x－x，
122
∴m(x)在(2，2)上递减，在(2，＋∞)上递增.
212
∴m(x)≥m(2)＝2－ln2>0
1
从而g′(x)>0，∴g(x)在[2，＋∞)上递增
155
因此g(x)min＝g(2)＝2－2ln2≥b，故b≤2－2ln2. (9分)
(3)假设OA⊥OB，即OA·OB＝(s，f(s))·(t，f(t))＝st＋f(s)f(t)＝0 故(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1，[st－(s＋t)a＋a2][st－(s＋t)b＋b2]＝－1
2ab
由s，t为f′(x)＝0的两根可得，s＋t＝3(a＋b)，st＝3，(0
9
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝ab＋4ab≥236＝12 即a＋b≥23，这与a＋b<23矛盾.
故直线OA与直线OB不可能垂直. (13分)