Th2：若?1，?2是(**)方程的一对共扼复数根?e和?e， 则这两个根对应解的部分为
A?cos(n?)+B?sin(n?) (A,B为实的待定系数) Eg2：下述矩阵的行列式有an=an-1-an-2，
n
n
i??i??1?1??...?0??...??011...0...001...1...000...1................1......100...0...1????? ????边界条件a1=1，a2=0。特征方程为x2-x+1=0 两个(特征)根为?1＝(1+3i)/2，?2=(1-3i)/2，
为一对共轭复数，由?1、?2算出?=1，tg?=3，?=π/3， 按Th2，有an=A?cos(n?)+B?sin(n?)=
Acos(nπ/3)+Bsin(nπ/3)，
将边界条件a1=1，a2=0代入，可得A=1，B=3/3。
Th3：若?是(**)方程的k重根，则?对应的解的部分为
C1?+ C2n?+ C3n?+ …+Ckn? (C1～Ck为待定常数)
n
n
2n
k-1n
n
n
Eg3：an+6an-1+12an-2+8an-3=0，
边界条件a0=1，a1=-2，a2=8。
特征方程为x+6x+12x+8=(x+2)=0，∴-2是三重根，
由Th3知an= (C1 + C2n + C3n)(-2)， 将边界条件a0=1，a1=-2，a2=8代入， 可得C1=1，C2=-1/2，C3=1/2 Eg4：下述矩阵的行列式有an=2an-1-an-2 一阶矩阵： 二阶矩阵：三阶矩阵 2 1 0 2 2 1 1 2 1 1 2 0 1 2 n阶矩阵为下图：对该矩阵所对应的行列式
2
n
3
2
3
?2?1??...?0??...??012...0...001...1...000...2................1......100...0...2??????按第一列的代数余子式展开计算， ????2?1??...?有?012...001...100...2.........1...00...0??（n-1阶）??21????......??01=2??0...0.........21...0??????- ??...............?000....1??（n-1阶）?100??.........?012??.........?00....??（n-2阶）?210??.........?012??.........?00....故有an=2an-1-an-2，即...?2????...?0?...0?......??0??=2an-1-......?12???...0?......??0??=2an-1-an-2 ......?12??an-2an-1+an-2=0，于是知，.........0....1...?2??1...1...
该递归方程所对应的特征方程为x-2x+1=(x-1)=0， ∴1是二重根。易知边界条件有a1=2，a2=3， 由Th3知，an = (C1+ C2 n) * 1= (C1+ C2 n)， 用a1=2，a2=3这两个边界条件，可求得C1= C2=1， 于是有an= n+1。
另一计算方法：由an-2an-1+an-2=0可得
(an-an-1)-(an-1-an-2)=0，于是有(an-an-1)=(an-1-an-2)。 令bn-1 = (an-an-1)，则bn-2 = (an-1-an-2)， ∴bn-1=bn-2=bn-3=……=b1=a2-a1=1， 即{a1，a2，…，an，…}是一等差数列， ∴an= a1+(n-1)d，由于a1=2，d=1，∴an= n+1。
n
22
Th4：若方程c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n)有f(n)≠0(非齐次)， 且q(n)是c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n)的一个解（特解）， 则方程c0an+c1an-1+…+cran-r=f(n)的解为：
方程的齐通解（含有待定系数）+ q(n) （非齐特解）， （齐通解中的待定系数由边界条件唯一确定）。 Eg5：递归方程为an+2an-1=n+3，边界条件a0=3。 由上述方程及a0=3，可算出a1=-2，a2=9。 于是特征方程为x+2=0，特征根为-2，f(n)为n+3。
故递归方程an+2an-1=0的齐通解为A(-2)，
类似于常微分方程，设非齐特解q(n)与f(n)同形: q(n)=Bn+D，将q(n)代入方程an+2an-1=n+3，
n
（q(n)代an，q(n-1)代an-1）得(Bn+D)+2(B(n-1)+D)=n+3， 于是有3Bn+3D-2B=n+3，令n=1、2，
根据递归方程和a1及a2，解得B=1/3，D=11/9， 故an=A(-2)+Bn+D=A(-2)+n/3+11/9，再由边界条件a0=3，解得A=16/9，于是an=16/9(-2)+n/3+11/9。 Eg6：递归方程为an+2an-1+an-2=2，则f(n)为2；
2
2
n
n
n
n
n
特征方程为x+2x+1=(x+1)=0，特征根为-1，是二重根； 于是齐通解为(C1+ C2n)(-1)，C1、C2为两待定系数， 设特解q(n)与f(n)同形：q(n) =B2
n
n-1n
n-2
n
n
n
代入递归方程为则有B(2+2*2+2)=2，解得B=4/9， 于是an= (C1+ C2 n)(-1)+4/9*2，再由所给边界条件 求出待定系数C1、C2（本题未给边界条件）。 找模式：给定一个数字串，再给定一个模式， 从数字串第一个数字开始扫描，一旦
在数字串中找到该模式，则从下一位开始重新再找，……
n
如扫到第k位时模式刚好找到，则称该模式在第k位出现。