e.g. 给定模式为010，给定数字串为110101010101， 则模式010在（左起）第5、第9位出现， 而第7、第11位不是该模式出现。 Eg7：求：在（左起）第n位出现010的 n位二进制数序列有多少？
解：设第n位出现010的n位二进序列共有bn个。 作如下考察：第n位出现010的序列必然形如 XXXX…XXXXX010（X有n-3个） 但并非此形状序列都是；
如7位二进序列1101010就不满足条件。 最右三位为010的n位二进制数序列共有2将其分为两类：
1. 第n位出现010的n位二进序列，有bn个； 2. 第n位未出现010、形如XXXX…XXXXX010的
n位二进序列；
考察：此类序列的n-1位为一，
故010不可能在第n-1位出现，因此010必然是 在序列的第n-2位出现（如010不在第n-2位出现，
n-3
个，
则010就必在序列第n位出现，与本类序列的规定矛盾）。
∴所有此类（即010未在其第n位出现）的n位二进序列 都对应一个在序列的第n-2位出现010的n-2位序列： 共有bn-2个；于是有：
bn+bn-2=2，边界条件b1=b2=0，b3=1， 特征方程为x+1=0，两个(特征)根为?1=i，?2=-i， 为一对共轭复数，由?1、?2算出?=1，?=π/2， 于是其齐通解为A1?cos(n?)+A2?sin(n?)=
n
A1cos(nπ/2)+ A2sin(nπ/2)，
n-3
n-3
n
n
2n-3
设特解q(n)与f(n)同形：q(n)=B2，代入bn+bn-2=2， 有B2+B2=2，于是有B+B/4=1， 解得B=4/5, q(n)=4/5*2，
n-3
n-3
n-3
n-5
n-3
∴有bn= A1cos(nπ/2)+ A2sin(nπ/2)+4/5*2，
代入边界条件（n=1,2）b1=b2=0，解得A1=2/5，A2=-1/5，于是最终有bn= 2/5cos(nπ/2)-1/5sin(nπ/2)+4/5*2
=1/5（2cos(nπ/2)-sin(nπ/2)+2）。
注意：并不是所有情况下都能假定特解q(n)与f(n)同形。 Eg8: an=an-1+2(n-1)，边界条件a1=2，a2=4， 依递推式算出a0=2。
特征方程x-1=0，特征根为1，则齐通解为A*1=A。
n
n-1
n-3
设特解q(n)与f(n)同形：q(n)=Bn+D，
代入an= an-1+2(n-1)，得Bn+D=B(n-1)+D+2(n-1)， 即0=2(n-1)-B，得出B= n-2，不符合题意。 原因是：只有1这个根，造成通解中不含n。 如设q(n)=Bn+Cn，代入an= an-1+2(n-1)，得 Bn+Cn= B(n-1)+C(n-1)+2(n-1)，于是有0=B-2Bn-C+2(n-1)，将n=1及n=2代入上式， 可得0=B-2B-C即B=-C（n=1代入上式）， 及0=B-4B-C+2即3B+C=2（n=2代入上式）， 将B=-C代入本式，得B=1，再由B=-C得C=-1， 于是有an=A+n-n。将边界条件a1=2代入该式， 得A=2，于是有an=n-n+2。 （此递推式亦可用代入法求解）
∴非齐次递推方程求解有时需要较为特殊的方法。 再举一例：an-5an-1+6an-2=2，
特征方程x2-5x+6=(x-2)(x-3)=0，特征根为2和3。
n
nn2
2
2
22
于是齐通解为A1*2+A2*3，如仍设特解q(n)与f(n)同形： q(n)=B2，代入an-5an-1+6an-2=2，则有 B(2-5*2+6*2)=2，即有B*2 (2-5+3)=2，
n
n-1
n-2
n
n-1
n
n
n
得到0=2，得出一个矛盾。原因在何处？ 因为一个特征根为2，齐通解中有A1*2， 故特解不能与f(n)同形。 ∴当Th1~Th4无法使用时， 或者特征方程的根难以求得时，
n
n
只能用代入法、生成函数法等它方法来求解。