专题训练：全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种： 姓名 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式
是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变
换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻
转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，
是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3， 则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，
ABDCAE试比较BE+CF与EF的大小.
- 1 -
FBDC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点， 求证：AD平分∠BAE.
中考题应用：
以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0
?
二、截长补短
1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC
A
- 2 -
BDC2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC
0ADEBC3、如图，已知在?ABC内，?BAC?60，?C?40，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ
0分别是?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC， 求证： ?A??C?180
- 3 -
B0ABQPCADC5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
中考题应用：
BPC12AD
三、平移变换
例1 、AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.
- 4 -
例2、如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
AB
四、借助角平分线造全等
DEC
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
BDCEOAAEBGCFD- 5 -