不规则图形的面积
例题精讲
本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．
【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)
4993499349934993 图1 图2 图3 【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的
面积．图1的面积是： 4?(9?3)?9?3?75(平方厘米)．图2的面积是： (9?4)?3?9?4?75(平方厘米)．
(方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：
(4?9)?(9?3)?156(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(4?9)?(9?3)?9?9?75(平方厘米)．
【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)
40303020
【解析】 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把
多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；
403030202030204030303040 图一 图二 图三
（30?40）?1200?1400?2600(平方米) 方法一：如图一，30?40?20?（20?30）?600?2000?2600(平方米) 方法二：如图二，20?30?40?（40?30）?（20?30）?30?30?3500?900?2600(平方米) 方法三：如图三，
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【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD是由一个长方形ABCD及一个正方形CEFG拼成的，线段的长度如图
所示(单位：厘米)，求ABEFGD的周长和面积．
AD410AD410HFEGCFEGC
【解析】 方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD的周长和面积可以求出．
而正方形的边长GC?DC?DG?AB?DG?10?4?6(厘米)， 长方形的宽?BE?CE?10?6?4(厘米)，所求图形的周长?10?2?6?2?4?4?40(厘米) 面积?S长方形ABCD?S正方形CEFG?10?4?6?6?76(平方厘米)
方法二：可以将线段GF、DG向外平移，得一个新的图形ABEH，
因为DG?HF，GF?DH，所以图形ABEH的周长就是图形ABEFGD的周长．而AB?BE?10(厘米)，所以图形ABEH是边长为10厘米的正方形． 所求图形的周长?正方形ABEH的周长?10?4?40(厘米) 面积?S正方形ABEH?S长方形DGFH?10?10?6?4?76(平方厘米)
【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．
方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积．
【巩固】求图中五边形的面积．
B10 B103645
【解析】 由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长6?3?3，斜边等于5，
1所以另一直角边为4，所以矩形的长为4?4?8，五边形面积6?8??4?3?42．
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【例 2】 (第三届”华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘
米．问，此楼梯截面的面积是多少？
【解析】 如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，它的面积恰好是
（280?300）?2?42000(平方厘米)． 所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为
【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？
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【解析】 先求出大三角形的两条直角边都是20?8?160(厘米)，因此大三角形的面积为
160?160?2?12800(平方厘米)；8个小三角形的面积为20?20?2?8?1600(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800?1600?14400(平方厘米)．
【例 3】 有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是
多少？
2米2米8米2米2米8米
【解析】 方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；
[16?2）?2]?（[8?2）?2]?7?3?21(平方米) 每一块地的面积是：（方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜
地的面积；每一块地的面积是： [16?8?（2?16?8?2?2?2）]?4?（128?44）?4?21(平方米)
方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，
再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示： （[16?2）?（8?2）]?4?84?4?21(平方米)
【例 4】 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖
住的桌面的面积是多少平方厘米？
16米16米
【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加2?1平方厘米，所以这10张纸
片盖住的面积是：3?2?2?1?9?24(平方厘米)．
【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.
20－55820820 【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20?5?20)?8?2?140(平方厘米)．
【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.
ADBO32ECF
【解析】 阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面
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积.因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.直角梯形OEFC的上底为10?3?7(厘米)，面积为(7?10)?2?2?17(厘米2). 所以，阴影部分的面积是17平方厘米。
【例 6】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2
米的正方形区域，他从图中的A点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？
A1米1米B
【解析】 从图中可以看出，李大伯每走1米，就能喷洒(2?1?)2平方米田地，李大伯一共走了88米，所以这
块田地的面积是2?88?176(平方米)．
【例 7】 (第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的
面积比乙的面积大__________平方厘米．
4厘米乙8厘米甲6厘米
【解析】 甲的面积?白色三角形的面积?(8?6)?2?24(平方厘米)，
乙的面积?白色三角形的面积?(8?4)?2?16(平方厘米)， 所以，甲的面积?乙的面积?24?16?8(平方厘米)
【例 8】 右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9平方
厘米，求ED的长．
AFED
EC?(4?6?9)?6?2?5(厘米)，ED?EC?DC?1(厘米)． 【解析】
【巩固】如图所示，CA?AB?4厘米，△ABE比△CDE的面积小2平方厘米，求CD的长为多少厘米？
DCEABBC
BC△ABE△CDE【解析】 连接两点，由比的面积小2平方厘米，
根据差不变原则可得2?S△CDE?S△ABE??S△CDE?S△CBE???S△ABE?S△CBE?
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?S△CDB?S△ABC由于S△ABC?4?4?2?8(平方厘米)，所以 S△CDB?8?2?10，所以CD?10?2?4?5(厘米)
【巩固】如图，平行四边形ABCD种，BC?10cm，直角三角形ECB的边EC?8cm，已知阴影部分的总面
积比三角形EFG的面积大10cm2，求平行四边形ABCD的面积．
EAFGD
【解析】 三角形面积?底?高?2．
SSABCDABCDBC?S?SABFEBC?SCDG?S梯形FBCG?SEFG?10?S梯形FBCG?10?10?8?2?10?50（cm2）
【例 9】 如图，ABCD是7?4的长方形，DEFG是10?2的长方形，求BCO与EFO的面积差．
ABABDGCOEFDCOEF G【解析】 如右图所示，我们把BCO与EFO同时补上阴影部分，则它们的差是不变的，即有：
SSBCOBCO?S?SEFOEFO?（SBCO?S阴影）?（SEFO?S阴影）?SBHF?SCEFH?（4?2）?（10?7）?2?（10?7）?2?3
本题还可以按照下面添加辅助线的方法去解答，可以让学生自己试试看．
ABABABDGCOEFDGCOEFDGCOEF
【例 10】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为
60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？
5060680平方米2720平方米
【解析】 根据题意，可以用下图表示增减变化的情况，从图中可以看出，原来长方形的长为
(2720?680)?(60?50)?340(米)，宽为680?340?50?52(米)．
【巩固】有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？
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