【解析】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如右上图。
3211大正方形的面积为????1，所以大正方形的边长应为1.上面两个长方形的面积之比为
105510324111:?3:4，所以LG?．下面两个长方形的面积之比为:?2:1，所以IG?．那么105751034155525． LI???，那么阴影小正方形的面积为??73212121441
【例 40】 长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正
方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？
E1D1EDC1CBA1A
【解析】 从图形我们可以看出，A1B的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD周长的一半，可
以看出若以A1B和BC1为边能构成大正方形A1BC1E1(如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正
方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形A1BC1E1的边长为30?2?15厘米，面积为：15?15?225平方厘米，正方形
290?2?145(平方厘米)．CDD1C1与正方形ADEA1的面积之和为：长方形ABCD与长方形EDD1E1的
面积相等．所以，长方形ABCD的面积为：(225?145)?2?40(平方厘米)．
【巩固】(第四届华杯复赛试题)如图，长方形ABCD的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为
边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD的面积？
IADHDGFABCBCE
【解析】 利用”扩”的思想，将左图转化为右图，那么正方形IBEG的面积就等于长方形ABCD周长一半的
2（16?2）?64(平方厘米)，平方，即长方形ABCD与DFGH是完全一样的，而正方形IADH与DCEF
（64?68?2）?2?15(平的和等于题目种已给的四个正方形面积的一半，所以长方形ABCD的面积为：
方厘米)．
【例 41】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，
这条手帕白色部分的面积是多少？
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【解析】 方法一：由于手帕边长是18厘米，所以手帕的面积是18?18?324(平方厘米)．
要求白色部分的面积，只需减去红色部分的面积就可以了．
红色部分是四个长为18厘米，宽为2厘米的红色长条，所以这四个红色长条面积是：4?18?2?144(平方厘米)，但每个横红条与每个竖红条在交叉处重叠一个边长为2厘米的正方形，即多计算了2?2?4(平方厘米)，因此两个横红条与两个竖红条共重叠4?4?16(平方厘米)，所以两个横红条与两个竖红条覆盖的面积为144?16?128(平方厘米)，
所以这块白手帕白色部分的面积是324?128?196(平方厘米)
方法二：换个方式思考：把竖的两个红条平行移动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的
左端边上，把横的两个红条也做同样的位置平移，使它们紧贴在正方形下端的边上，如图所示．
这样通过平移横、竖红条后使原来分散的白色部分集中起来了，而且所得图形的白色部分的面积不变．这时白色部分面积一目了然，它等于变成为14厘米的正方形面积，即14?14?196(平方厘米)
【例 42】 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如
果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
图１ 图2
【解析】 我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上(如
图2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放(101?1)?2?51(块)，白色瓷砖组成的正方形的边长上能放：51?1?50(块)，所以白色瓷砖共用了：50?50?2500(块)．
【例 43】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？
【解析】 由图可知，长方形的长是宽的4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是4厘米，故图中空白部分
的面积是4?4?2?32(平方厘米)．
【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？
2422
【解析】 对长方形进行平移，如图可看出：长?4个宽，长?2个宽?24．
（4?2）?（4cm）易求出宽为24?． （cm）长为：4?4?16．
（cm2）空白部分面积为16?4?7?448．
【例 44】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的
长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．
DC6A14B
【解析】 由图中可以看出
小长方形的长?3?小长方形的宽?14，小长方形的长?小长方形的宽?6． 第二式乘以3再与第一式相加得 4?小长方形的长?14?6?3?32．
所以小长方形的长?8，小长方形的宽?2，
小长方形的面积8?2?16，大长方形的面积?14?(6?2?2)?140， 阴影面积?140?6?16?44．
【例 45】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分
的总面积是多少平方厘米？
【解析】 从图中可以看出5个长=3个长+3个宽，则得2个长=3个宽，所以长方形的长为：3?12?2?18(厘
米)，阴影小正方形的边长=长-宽，边长是18?12?6(厘米)，阴影部分面积是6?6?3?108(平方厘米)．
【例 46】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是
由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？
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DABEAHBFCG
【解析】 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)．
设最小的正方形边长为x厘米，
又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形B的边长为4厘米，所以小正方形C的边长可以表示为7?x(厘米)，小正方形D的边长可以表示为7?x?x?7?2x(厘米)，小正方形E的边长可以表示为7?x?4?11?x(厘米)，小正方形F的边长可以表示为11?x?4?15?x(厘米)，小正方形G的边长可以表示为15?x?4?19?x(厘米)，小正方形H的边长可以表示为7?x?7?14?x(厘米)，观察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：(7?2x)?(7?x)?(14?x)?(15?x)?(19?x)解得x?1从而可得小正方形C、D、E、F、G、
18?15?33(厘9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米．大长方形的长为：H的边长分别为8厘米、
米)，宽为：14?18?32(厘米)，大长方形的面积为：33?32?1056(平方厘米)．
【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正
方形(阴影部分)面积为81cm2，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？
jgehcabifd
【解析】 因为阴影部分的边长是9厘米，我们假设标号是a的正方形的边长是a，那么标号为b的正方形的边
第，2题标号是的正方形的边长是9?a?9?18?a，标号是的正方形的边长是长是9?ace18?a?9?2?7a，标号是d的正方形的边长是a?9?a?9?2a，标号是f的正方形的边长是a?9?2a?9?3a，标号是h的正方形的边长是27?a?18?a?45?2a，于是标号是g的正方形边长是9?3a?(27?a)?(a?9)?3a?27，于是标号是j的正方形边长是3a?27?9?3a?6a?18，于
（3a?27）?45?2a?9a?45，由是标号是i的正方形边长是3a?27?6a?18?9a?45，于是27?a?a?176此解出a?16．于是矩形的长是6a?18?9a?45?177，宽是9a?45?45?2，所以面积是
177?176?31152(cm2)．
【巩固】图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积．
【解析】 由于中央的小正方形的面积为1平方厘米，所以这个小正方形的边长为1厘米．为了求出长方形的面
积，必须知道其它四个正方形的边长，这样就必须探究各个正方形边长之间的关系了．
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x+2x+3③④③④11①x⑤⑤①②x+1②xj
如左上图所示，把其余5个正方形依次编号，那么①号与②号正方形大小、形状完全相同．
不妨设①号正方形的边长为x，那么有：⑤号正方形的边长为x?1，④号正方形的变成为(x?2)；③号正方形边长为(x?3)．
另一方面，从右上图可以看出，③号正方形的边长也等于①号与②号正方形边长的和减去中央阴影正方形的边长1，即等于(x?x?1)． 所以x?3?x?x?1，由此可得x?4．
原长方形的面积为：1?1?4?4?4?4?5?5?6?6?7?7?143(平方厘米)
【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和
宽是多少？并请画出这个长方形的拼接图．
15187102281941422
【解析】 长方形的面积为1?4?7?8?92?102?142?152?182?1056．
长方形的宽显然大于等于18，而1056?22?48?24?44?32?33，但18只有与4相加得22， 多出的18?4?14无法与其他数相加得出22，所以宽不能是22．
同理，宽不是24，因而长方形的宽是32，长是33，具体的拼法如图．
【例 47】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ．
？15125A15125
12?15?（2?5）?（2?A）【解析】 设这个三角形的面积为A，则如右图添加虚线后有，得A?9．
【例 48】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问
大矩形的面积是多少平方厘米？
G36A1612G36S1CBF20E30DA16S212CBF20E30S3D
【解析】 方法一：通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方
形的宽相等，即BC相等，不妨假设BC?2厘米，可以算得：AC?8厘米，CD?10厘米．于是可
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