§5 对数函数
5．1 对数函数的概念
5．2 :对数函数y＝log2x的图像和性质
1．问题导航
(1)对数函数满足哪三个条件？
(2)对数函数的定义域、值域各是什么？
(3)你能写出对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的反函数吗？
(4)指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x图像关于哪一条直线对称？ 2．例题导读
(1)P90例1.通过本例学习，理解对数函数的概念．
(2)P90例2、P91例3.通过这两例学习，了解对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数yx
＝a(a>0且a≠1)互为反函数．
试一试：教材P91练习T3、T4你会吗？
1．对数函数的概念
2．反函数的概念
在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数．
通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为y＝logax(a＞0，a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
3．函数y＝log2x的图像与性质 图像特征 函数性质 过点(1，0) 当x＝1时，y＝0 在y轴的右侧 定义域是(0，＋∞) 向上、向下无限延展 值域是R 在直线x＝1右侧，图像位于x当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1轴上方；在直线x＝1左侧，时，y＜0 图像位于x轴下方 函数图像从左到右是上升的 是(0，＋∞)上的增函数
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0且a≠1，x＝logay和y＝logax都是对数函数．( )
(2)已知a>0且a≠1，则y＝ax的图像与x＝logay的图像相同；与y＝logax的图像关于直线y＝x对称．( )
(3)函数y＝log2x与y＝log1x的图像关于x轴对称．( )
2
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则( ) A．R 3．函数f(x)＝log2x的定义域为________． 解析：由log2x≥0，即log2x≥log21， 因为y＝log2x在(0，＋∞)上是递增的， 所以x≥1，故f(x)＝log2x的定义域为{x|x≥1}． 答案：{x|x≥1} 1? 4．对数函数f(x)的图像经过点??9，2?，则f(3)＝________． 解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 1? 因为对数函数f(x)的图像经过点??9，2?， 1?112 所以f?＝log＝2.所以a＝. a ?9?99 1?11?2?11?2??所以a＝?9?＝32＝. ????3 1?－1?所以f(x)＝log1x.所以f(3)＝log13＝log1?3?＝－1. 3 3 3 答案：－1 对数函数必需满足三个条件 (1)logax前面的系数必须是1； (2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x. 对数函数的概念 下列函数是对数函数的序号是________． 1 a>，且a≠1，x是自变量?；①y＝logx2；②y＝－log3x；③y＝log0.4x；④y＝log(2a－1)x??2?⑤y＝log2(x＋1)． [解析] ①式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；②式中y＝－log3x＝log1 3 x是对数函数；③式中y＝log0.4x＝log0.42x是对数函数；④式中对数的底数2a－1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；⑤式中函数在对数的真数处不只是自变量x，而是关于x的表达式x＋1，故不是对数函数．由此可知只有②③④是对数函数． [答案] ②③④ 方法归纳 (1)判定对数函数的标准要满足三个条件； (2)有些函数要在变形后进行判断，观察问题的实质． 1．下列函数是对数函数的有________． ①y＝3log21x； ②y＝log2x； ③y＝logaxx(a>0且a≠1)； ④y＝logxx(x>0且x≠1)． 3 解析：①y＝log21x3＝log21x是对数函数； ②y＝log2x＝log4x是对数函数； ③由于真数为xx，且无论怎样变形均不符合对数函数的三个条件，所以不是对数函数； ④由于底数和真数都是变量，不是对数函数． 答案：①② 反函数 写出下列函数的反函数： (1)y＝ln x；(2)y＝log1x； 1?(3)y＝πx；(4)y＝??3?. [解] (1)对数函数y＝ln x，它的底数是无理数e，它的反函数是y＝ex. 1?x1?(2)对数函数y＝log1x，它的底数是，它的反函数是y＝?2?. 2 22x (3)指数函数y＝π，它的底数是π，它的反函数为y＝logπx. 1?x1?(4)指数函数y＝?3?，它的底数是，它的反函数是y＝log1x. 33 方法归纳 (1)求一个函数的反函数的步骤： ①由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)． ②将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)． ③由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域． (2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称． 2．(1)已知函数y＝g(x)的图像与函数y＝log3x的图像关于直线y＝x对称，则g(2)的值为( ) A．9 B.3 C.2 D．log32 (2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图像经过点(a，a)，则f(x)＝( ) x A．log2x －x B．log1x 2 C．2 D．x 解析：(1)选A.y＝g(x)与y＝log3x互为反函数， 故g(x)＝3x， 故g(2)＝32＝9. 1 (2)选B.由题意知(a，a)在y＝a上，可得a＝a＝a，即a＝. 2 1 因为y＝()x的反函数为y＝log1x， 22x a 1 2 2 所以f(x)＝log1x. 2 函数y＝log2x的图像与性质 根据函数f(x)＝log2x的图像和性质解决以下问题． (1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值． [解] 函数y＝log2x的图像如图所示． (1)因为y＝log2x是增函数， 若f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，则a＞2. 所以a的取值范围为(2，＋∞)． (2)因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27， 所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23. 所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23. 1?x? 借助本例f(x)＝log2x的图像，试判断方程?2?－log2x＝0解的个数． 1?x?解：在同一坐标系中画出函数y＝?2?与y＝log2x的图像，如图所示． x11?x???由图知它们的图像有一个交点，即方程?2?＝log2x仅有一个解，也就是方程?2?－log2x ＝0有一个解． 方法归纳 与对数函数有关的图像的画法 (1)列表描点法：列表，描点，连线． (2)平移变换法：左加右减，上加下减． (3)对称变换法：y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 3．(1)函数f(x)＝|log1x|在下列哪个区间上是增加的( ) 2 10，? A.??2?C．(0，＋∞) 1－x B．(0，1] D．[1，＋∞) ??2，x≤1，(2)设函数f(x)＝?则满足f(x)≤2的x的取值范围是( ) ?1－log2x，x>1，? A．[－1，2] C．[1，＋∞) ? 解析：(1)选D.f(x)＝? ?logx，0 212 B．[0，2] D．[0，＋∞) －log1x，x≥1， 其图像如图． 所以f(x)在[1，＋∞)上是增加的． ??x≤1，??x>1， (2)选D.因为f(x)≤2，所以有?1－x或?，解得x≥0， ??2≤21－logx≤2??2 故选D. 思想方法 1已知f(x)＝|log2x|，若>a>b>1，则( ) c A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(c)>f(b)>f(a) C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(b)>f(a)>f(c) [解析] 先作出函数y＝log2x的图像，再将图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，这样，我们便得到了y＝|log2x|的图像，如图．由图可知，f(x)＝|log2x|在(0，1)上是减少的， 1??1?＝|log21|＝|－log2c|＝|log2c|＝f(c)．所以在(1，＋∞)上是增加的，于是f?>f(a)>f(b)，又f?c??c?c f(c)>f(a)>f(b)． 数形结合思想的应用 [答案] C [感悟提高] (1)作绝对值函数|f(x)|的图像是正确求解的关键，作图时充分利用f(x)与|f(x)|之间的关系． (2)利用函数单调性来比较大小，必须使自变量在同一单调区间上． 1 (3)利用对数的运算性质来寻找f()与f(c)的关系． c1．下列各项中表示同一个函数的是( ) A．y＝2log2x与y＝log2x2 B．y＝10lg x与y＝lg 10x C．y＝x与y＝xlogxx D．y＝x与y＝ln ex 解析：选D.对于A中两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数．同样B、C中两个函数的定义域也都不同，故不是同一个函数． 2．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图像是( )