【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【热点题型】
题型一 平面向量的有关概念 【例1】 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；
→→
②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】 A 【解析】
1
【提分秘籍】
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要aa
把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
|a||a|
【举一反三】 给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 C 【解析】
题型二 平面向量的线性运算
→→
【例2】 (1)在△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，→
则AD＝( )
1122A.a－b B.a－b 33333344C.a－b D.a－b 5555
→→→
(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________．
【答案】 (1)D (2)2
2
25
【解析】 (1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，CD＝，
5∴BD＝
545，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1. 55
→4→4→→44
∴AD＝AB＝(CB－CA)＝a－b.
5555(2)因为ABCD为平行四边形， →→→→
所以AB＋AD＝AC＝2AO， →→→
已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2. 【提分秘籍】
(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
【举一反三】
→→
(1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC→
＝b，则AD＝( )
11
A．a－b B.a－b
2211
C．a＋b D.a＋b
22
(2)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
→→→
A.AD＋BE＋CF＝0 →→→B.BD－CF＋DF＝0 →→→C.AD＋CE－CF＝0
3
→→→D.BD－BE－FC＝0 【答案】 (1)D (2)A
→1→1
【解析】 (1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，
22→→→1
所以AD＝AC＋CD＝b＋a.
2
→→→→→→→→→→→→
(2)由题意知：AD＝FE，BE＝DF，CF＝ED，而FE＋ED＋DF＝0，∴AD＋BE＋CF＝0.
题型三 共线向量定理的应用
【例3】 设两个非零向量a与b不共线．
→→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【提分秘籍】
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．
4
【举一反三】
→→
(1)已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是( )
A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1
→→→
(2)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ→11
＝nOB，m，n∈R，则＋的值为________．
nm
【答案】 (1)C (2)3 【解析】
【高考风向标】
???????? 【2015高考新课标1，理7】设D为?ABC所在平面内一点BC?3CD，则（ ）
?????4????????1????4????1???（A）AD??AB?AC (B)AD?AB?AC
3333??????????????????4????1????4????1（C）AD?AB?AC (D)AD?AB?AC
3333【答案】A 【
解
析
】
由
题
知
5