由AB?AD,CB?CD，得：AE?BD,CE?BD
??AEC就是二面角A?BD?C的平面角，?cos?AEC?在?ACE中，AE?3 ……………………2分 36,CE?2AC2?AE2?CE2?2AE?CE?cos?AEC
3?4?AC?2 ………………………………………4分 3 ?6?2?2?6?2?（Ⅱ）由AC?AD?BD?22，AC?BC?CD?2
?AC2?BC2?AB2,AC2?CD2?AD2,??ACB??ACD?90?
?AC?BC,AC?CD， 又BC?CD?C?AC?平面BCD．………………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知BD?平面ACEBD?平面ABD ∴平面ACE?平面ABD平面ACE?平面ABD?AE， 作CF?AE交AE于F，则CF?平面ABD，
?CAF就是AC与平面ABD所成的角?sin?CAF?sin?CAE?方法二：设点C到平面ABD的距离为h， ∵VC?ABD?VA?BCD ?CE3．……12分 ?AE31111??22?22sin6h?0???3232?2? 2 ? 2
?h?23h3 于是AC与平面ABD所成角?的正弦为 sin??． ?AC33 则方法三：以CB,CD,CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系C?xyz，
A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0)D(0,2,0)．
设平面ABD的法向量为n?(x,y,z)，则
???n?AB?0， n?AD?0，?2x?2z?0,2y?2z?0
取x?y?z?1，则n?(1,1,1)， 于是AC与平面ABD所成角?的正弦即
?sin??|n?CA||0?0?2|3??．
33?2|n||CA|20. 解：（1）由函数f(x)为R上的奇函数，得f(0)?0，又已知f(1)??1， 所以函数f(x)在R上的单调递减。
用心 爱心 专心
- 6 -
证明：令任意x1,x2?R,x1?x2，在已知中，取a?x1,b??x2，则
f(x1)?f(?x2)、?0，
x1?x2∵函数f(x)为R上的奇函数，∴f(?x2)??f(x2)，又x1?x2?0， ∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)。
∴函数f(x)在R上的单调递减。………………………………………………6分
k(1?x)k(1?x)]?1.得：f[]?f(?1) x?2x?2k(1?x)(1?k)x?k?2??1即：?0 ∵函数f(x)在R上的单调递减。 ∴
x?2x?22-k}； ∴当0?k?1时，不等式的解集为{x|x?2,或x>1-k（2）∵1??f(1)?f(?1) ∴由f[当k?0时，不等式的解集为{x|x?2}； 当k?1时，原不等式变为：
(k?1)x?k?2?0，
x?2 2-k?x?2}……………………………………12分 不等式的解集为{x|1-k21．解 ：（1）由已知得t?0,f/?x??2mx?n，
则f/?0??n?0,f/(?1)??2m?n??2，从而n?0,m?1，
∴f(x)?x…………………………………………………………2分 ∴f/2?x??2x，g/?x??a?b。
x由f?1??g(1), f/?1??g/(1),得b?1,a?b?2，解得a?b?1.
?g?x??lnx?x(x?0)。………………………………4分 （2）F?x??f(x)?g(x)?x2?lnx?x(x?0)，
12x2?x?1(2x?1)(x?1)?求导数得F?x??2x??1?。…………6分
xxx/?F?x?在（0,1）单调递减，在（1,+?）单调递增，从而F?x?的极小值为F?1??0。……………………………………………………8分
（3）因 f?x? 与g?x?有一个公共点(1,1),而函数f?x?在点(1,1)的切线方程为
用心 爱心 专心 - 7 -
y?2x?1。……………………………………………………9分
?f(x)?2x?1下面验证??g(x)?2x?1都成立即可。
由 x2?2x?1?0，得x2?2x?1，知f(x)?2x?1恒成立。 设h?x??lnx?x?(2x?1)，即 h?x??lnx?x?1， 求导数得h/?x??11?x?1?(x?0)， xx?h?x?在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减，所以 h?x??lnx?x?(2x?1)的最大值为h?1??0，所以lnx?x?2x?1恒成立。
故存在这样的实常数k和m，且k?2,m??1。……………………………12分
22．解：（1）由方程an?12an(an?3)， ?f(an)得an?23an?1解得an?0,或an??1,或an?1.……2分
2an(an?3)(an?1)3（2）?an?1?1??1?, 23an?13an?12an(an?3)(an?1)3an?1?1??1?, 23an?13an?1a?1an?133?(),即bn?1?bn?两式相除得n?1.……………………5分 an?1?1an?13由a1?2可以得到bn?0，则lnbn?1?lnbn?3lnbn.
1又b1?,得lnb1??ln3，
31n?11n?1?lnbn?(?ln3)?3n?1?ln()3，bn?()3（n?N?）。………8分
331n?1n?1（3）当n?3时，3n?1?(1?2)n?1?Cn0?1?2CnCn?1?2n ?1???21n?11?bn?()3?()2n(n?3)…………………………11分
331111?()6???()2n 当n?3时，b1?b2?b3???bn??333271?1?()6??1?()2n?4?103?3?10?1241? =<= …14分
127276486481?()23
用心 爱心 专心 - 8 -