无穷级数的敛散性及其应用
摘要：无穷级数贯穿于高等数学的各个分支，是数学分析中的重要组成部分。本文简单讨论了一个级数的敛散性的判别，并会应用其解决问题。着重强调了无穷级数在求极限中以及在数值计算中的近似计算中的应用。 关键词： 级数 敛散 极限 判别 近似计算
The Convergence And Divergence Of Infinite Series And Its
Application
Abstract: Infinite series throughout the higher the various branches of mathematics, mathematical
analysis is an important part in. This paper discusses a series of distinguishing the convergence and divergence, and will apply the solution to the problem. Emphasizes the infinite series in the limit as well as in the numerical calculation of approximate calculation.
Keywords: Series ; Convergence and divergence ; Limit; Distinguish ; Approximate calculation
1. 级数敛散性的定义
1.1定义： 如果数项级数此数项级数收敛。
?un?1?n的部分和数列{sn}收敛于S（limsn?S),则称
n??2. 级数敛散性的判定方法
在数学分析中，我们已经学习到了几种判别法。在本文我主要整理总结级数敛散性的判别法的思想。
（1）对于一个任意项级数，首先应判别此级数的类型，主要分为正项级数和一般项级数。其中一般项级数中再判断它是否是交错级数。
（2）如果是正项级数，先可以利用级数收敛的必要条件判定级数是否发散。
un?0，则不确定级数是否收敛，需要再次判别。 即判断limun?0极限发散，lim n??n??接着，根据级数的一般项的特性选择不同的判别方法： a:若一般项中含有阶乘项和乘积形式，一般用比式判别法。
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b:若一般项中含有幂指数形式，一般用根式判别法。 c:若一般项中含有n??不是整数
??，一般用比较判别法。
此外还有比式判别法的极限形式，积分判别法，拉贝尔判别法等等。 （3）利用级数敛散性的定义判别 （4）特殊类型级数的判别方法
a:如果一个级数是交错级数，可以用莱布尼茨判别法
b:如果交错级数不符合莱布尼茨判别法条件则可以运用狄利克雷判别法和阿贝尔判别法等等。
下面看几个例子，观察是如何判别级数敛散性的。 例1 讨论数项级数
1111???...??......的收敛性。 1*77*1313*19(6n?5)(6n?1)分析：这道题如果用比式判别法，发现limn??uun?1?1不能判别出级数是否收敛。因此
n想到用定义是否可以先求出部分和，在判断其极限的存在性。 解：级数的第n个部分和
Sn=
?(6n?5)(6n?1)
n?1?111111111?] =[1??????....?6771313196n?56n?111(1?) =66n?11 于是，limSn?
n??61因此，根据定义，此级数收敛。并能求出其和为。
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例2 判别下列级数的敛散性 （1）?3sinn?5 （2）?n(n?!)!5n
（3）0.003+0.003?30.003?40.003+...
2
解：（1）因为 0<3nsin?5n~???3???5?n (n??)
3??而正项级数?????5?n收敛，所以级数收敛。
分析：这是运用了比较判别法，即把un?vn，?un与?vn收敛性相同。 (2) 分析：由于级数的一般项含有阶乘，首先想到用比式判别法能否判别。 因为limn??uun?1n?limn??(n?2)!5n?1*5n(n?1)!?limn??n?2?? 5所以此级数发散。
（3）分析：这题是利用级数收敛的必要条件的逆否命题：若则级数发散。
limun??n?0，
limn??n0.003?1?0
所以此级数发散。
3. 无穷级数的应用
无穷级数在数学中的应用非常广泛，无论是在实数领域还是复数领域，级数都占据着至关重要的地位。我们可以用无穷级数理论来求某些数列和函数的极限。另外，对于一个很难计算的数值如无理数也可用无穷级数逐渐逼近得到较为准确的值。譬如可以用无穷级数逼近的方法求出圆周率?的近似值。下面举例说明级数的某些应用。 3.1利用无穷级数求极限 （1）利用级数敛散性的必要条件 例3 求极限limn??n!
1*3*5*....(2n?1)n!看作
1*3*5.....*(2n?1)分析：我们发现直接来求解这题显得比较繁琐，如果把un?是级数?n!的通项，如果此级数收敛，则limun?0。
1*3*5.....*(2n?1)n??解：根据比式判别法
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n?1nlimn??uu
?limn???limn??(n?1)!1*3...(2n?1)?1*3*5....(2n?1)n!n?1
2n?1?12所以limn??uun?1n<1，则正项级数?n!收敛，故由级数收敛的必要性，得
1*3*5....(2n?1)
limn??n!?0
1*3*5*....(2n?1)(??2)(2??2)...(n??2)。
(??2)(2??2)...(n??2)例4 求当?>?>0时，limn??分析;用其他方法求这题比较难求，?，?未知。我们先考虑级数
(??2)(2??2)...(n??2)?(??2)(2??2)...(n??2)的收敛性。
解 由比式判别法
(n?1)??2u=
lim(n?1)??2 limun??nn??n?1 =
?<1 ?(??2)(2??2)...(n??2)(??2)(2??2)...(n??2)收敛，则lim=0（2）
(??2)(2??2)...(n??2)(??2)(2??2)...(n??2)n??所以级数?（2）通过幂级数展式求极限
根据所求函数性质的不同，可以将函数的某一项进行展开，然后求得极限值。这种方法求极限，可以简便计算量。对于不易求出极限的函数，可以使用这类方法。下面看一个例子。
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x例5 （1）lim[x?x???21ln(1?)] (2)limxx??esinx?x(1?x)
x3
11分析：第一题我们发现当x趋于无穷时，是无穷小量，则可以用泰勒展式将ln(1?)xx展开求解。第二题可以利用泰勒展式将e，sinx展开。
11111ln(1?)????o()233xx2x3x解 （1）? x
x ?12 lim[x?xln(1?)]?lim[x?x?1?1?o(1)]
x???23xxx??1 2 =
（2）
?e?1?x?sinx?x?xxx22?o(x)42x36?o(x)2
3?esinx?x?x??x3?o(x)3 limx??esinx?x(1?x)?limx3x??xx?x?2x33?o(x)?x?x32x3
1 =
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（3）利用级数的和函数求极限
在求极限的过程中，我们通常会遇到与n有关的和式极限。对于这类求极限是较难的。如果可以将这种和式化为一个已知和式的级数。这类问题就能得到简便化。下面看几个例子。
例6 求极限lim[3?3?3?5*3?...(2n?1)*3]
n???1?2?3?n 5