分析：将其看作一个级数，由公式lim(a?a?...?a)??a，把这题求极限看作
n??12nn是级数的求和问题。 ?解 原式=?2n?1，由级数的比式判别法，得
n?13nun?1lim2n?1n??un?limn??3(2n?1)=13<1
?该级数收敛。
n设s?kn??(2k?1)*3 ， 利用错位相减法得
k?1?1?23n13sn???3???2*??1??3???...?(2n?1)*??1??3??，两式相减得， 2n23sn?13?23*[13???1??3???....???1??3??]
n?1 =13*[2???1??]，
?3?n?1n?1`?s1?1?1?2[2???]=1?n??3?1?2*??3?
?n?1`?lim[3?1?3?3?2?5*3?3?...(2n?1)*3?n]=[1?1?1?n??limn??2*??3??]=1
例7 求极限lim[1?111n??23*23?5*25?...?(2n?1)*22n?1] 解 根据比式判别法，由正项级数?1(2n?1)*22n?1，得
un?112n?1limn??un=lim[(2n?1)*2*(2n?1)*2n??2n?11]
6
=
1<1 42n?1所以此级数收敛。
?2n?1?12n?2?'?设f?x???x,则f'?x????x此时|x|<1 ??x2??2n?11?xn?12n?1???已知f?0??0,对于任意的x???1,1?,有
f?x???f'?x?dx??0xxdt1?t201x11?)dx ??0(21?t1?t1ln(1?x)(1?x) ?2，
1，则 2令x?limn??111131111ln(1?)(1?)?ln =[???...?]352n?12222423*25*2(2n?1)*2
3.2 无穷级数在近似计算中的应用
（1）计算无理数的近似值
例8 计算e的近似值，并使其截断误差不超过10。 解 用泰勒展式将e展开
x?1?4ex?1?x??1121n?....??.... 2!xn!x2k?e?????1?1?1???1???....?
2!k!?1并取k?7，得e?0.3679 截断误差R7=|e?0.3679|?
（2）计算定积分的近似值
2sinx1?x,对于一些函数如，，它们的原函数不能用已知的初等函数表示，计算xlnxe?111?4<*10 8!4 7
它们的定积分很困难。通常解法是先将被积函数化成幂级数展式，再逐项积分，最后求出定积分的近似值。下面看例子 例9 计算积分I??解
sinx用泰勒展式展开， xsinx121416?1?x?x?x?.... x?? x3!5!7!1sinx11dx?1???.... ?I??0x3*3!5*5!1?4由于第四项a4?<10
7*7!sinx?4dx的近似值，误差不超过10。 0x1所以I??sinxdx?1?1?1?0.9461 0x3*3!5*5!1总之，讨论并研究一个无穷级数的敛散性和应用，无论对级数求和问题，一些极限的求解，还是在近似计算中，都在我们生活生产中占据着非常重要的作用。从无穷级数的框架看，它是一个严密的网状体系，与函数思想、极限思想和化归转化思想密切联系。
参考文献：
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[4]赵兆林 无穷级数敛散性的判别方法 山西煤炭管理干部学院学报 1999年第3期 [5]姬小龙 Taylor定理的推广及中值点列的渐近性[j] 洛阳师范学院学报 ，2001，20（2） [6]罗尊礼 王国庆 递推法与无穷级数 《枣庄师专学报》1996年第3期 [7]李庆扬等编 《数值分析》第4版 华中科技大学出版社
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