第一部分 专题四 第一讲 等差数列、等比数列
A组
1．(2018·唐山模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝( D ) A．18 C．9
B．12 D．6
[解析] 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式． 由题意得S11＝
a1＋a11
2
＝
a1＋10d2
＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1
＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( C ) A．31 C．63
[解析] 解法一：由条件知：an>0，且
??a1＋a2＝3，???a1＋a2＋a3＋a4＝15，
B．32 D．64
∴?
??a1??a1
＋q＝3，＋q＋q＋q2
3
＝15，
∴q＝2.
1－2∴a1＝1，∴S6＝＝63.
1－2
解法二：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)＝S2(S6－S4)，即12＝3(S6－15)，∴S6＝63.
3．若a，b是函数f(x)＝x－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( D )
A．6 C．8
??a＋b＝p>0，
[解析] 由题可得?
??ab＝q>0，
2
2
2
6
B．7 D．9
所以a>0，b>0，不妨设a>b，所以等比数列为a，
－2，b或b，－2，a从而得到ab＝4＝q，等差数列为a，b，－2或－2，b，a从而得到2b＝a－2，两式联立解出a＝4，b＝1，所以p＝a＋b＝5，所以p＋q＝4＋5＝9.
1
4．(2017·山西四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差
2数列，则
a9＋a10
＝( C ) a7＋a8
B．1－2
1
A．1＋2
C．3＋22 D．3－22
[解析] 本题主要考查等差数列、等比数列． 11
∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3×2＝a1＋2a2，
22
即a1q＝a1＋2a1q，∴q＝1＋2q，解得q＝1＋2或q＝1－2(舍)，
2
2
a9＋a10a1q8
∴＝a7＋a8a1q6＋q22
＝q＝(1＋2)＝3＋22. ＋q2
*
5．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得am·an＝16a1，m，n∈N，19
则＋的最小值为( C )
mnA．2 11C． 4
B．16 3D． 2
2
[解析] 设数列{an}的公比为q，a3＝a2＋2a1?q＝q＋2?q＝－1(舍)或q＝2，∴an＝
2m＋n－22*
a1·2n－1，am·an＝16a2＝16a1?m＋n＝6，∵m，n∈N，∴(m，n)可取的数值组合1?a1·2
1911为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m＝2，n＝4时，＋取最小值.
mn4
6．已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则
a1＝，d＝－1.
[解析] 由题可得(a1＋2d)＝(a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0，又因为2a1＋a2＝1，2
即3a1＋d＝1，联立可得d＝－1，a1＝.
3
7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n>1，n∈N，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，则S10＝91.
[解析] 因为任意的n>1，n∈N，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，所以Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1
＋2，
所以an＋1＝an＋2，因为a3＝a2＋2＝4，
所以an＝a2＋(n－2)×2＝2＋(n－2)×2＝2n－2，n≥2，
9×8
所以S10＝a1＋a2＋a3…＋a10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2×9＋×2＝91.
2
8．(2018·江苏无锡一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为2.
[解析] ∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，
2
23
2
a1－qa1－q??2×＝
1－q1－q∴?
??a1q＋a1q4＝4，
13
解得a1q＝8，q＝－，
2
93
＋a1
－q1－q6
1732
∴a8＝a1q＝(a1q)(q)＝8×＝2.
4
9．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－p(n∈N)，其中p是不为零的常数． (1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)当p＝3时，若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式． [解析] (1)证明：因为Sn＝4an－p(n∈N)， 则Sn－1＝4an－1－p(n∈N，n≥2)，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1， 4
整理得an＝an－1.
3
由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝.
3
*
*
*
*
pp4
所以{an}是首项为，公比为的等比数列．
33
4n－1
(2)因为a1＝1，则an＝()，
3
4n－1
由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝()，
3当n≥2时，由累加法得
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
41－
3
＝2＋
41－3
n－1
4n－1
＝3·()－1，
3
4n－1
当n＝1时，上式也成立．∴bn＝3·()－1.
3
10．(文)(2017·蚌埠质检)已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3
＝3，S3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2
3
a2n＋3
，且{bn}为递增数列，若cn＝4
，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1.
bn·bn＋1
[解析] (1)设该等比数列的公比为q，
3
11
则根据题意有3·(1＋＋2)＝9，
qq从而2q－q－1＝0， 1
解得q＝1或q＝－.
2当q＝1时，an＝3；
11n－3
当q＝－时，an＝3·(－).
22
(2)证明：若an＝3，则bn＝0，与题意不符， 1n－3
故an＝3(－)，
212n此时a2n＋3＝3·(－)，
2∴bn＝2n，符合题意． ∴cn＝＝
42n1
2
n＋
nn＋
11＝－， nn＋1
从而c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1－(理)设n∈N，xn是曲线y＝x*
1
<1. n＋1
＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．
2n＋2
(1)求数列{xn}的通项公式； 1222
(2)记Tn＝x1x3…x2n－1，证明：Tn≥.
4n[解析] (1)y′＝(x2n＋2
＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1
，曲线y＝x2n＋2
＋1在点(1,2)处的切线斜
率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)．
令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标 1nxn＝1－＝. n＋1n＋1
(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知
?1?2?3?2?2n－1?2. 22
Tn＝x21x3…x2n－1＝????…??
?2??4??2n?
1
当n＝1时，T1＝；
4当n≥2时，
4
因为x2
2n－1
?2n－1?2＝＝???2n?
22
n－n22＞
n－n－12n－2n－1＝＝，
2nnn－11?1?212
所以Tn＞??×××…×＝.
n4n?2?23
1*
综上可得，对任意的n∈N，均有Tn≥. 4nB组
1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为( A ) 9
A． 45
C． 3
3
B． 2D．4
S4S2S6S4
[解析] 由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得则S6－S4＝5S2，
S4S2S4－S2
＝3，S2
S69
所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.
S44
2．(文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且4a3－a6＝0，则＝( D ) A．－5 C．3
2
5
S6S3
B．－3 D．5
[解析] ∵4a3－a6＝0，∴4a1q＝a1q，∵a1≠0，q≠0，
a1
∴q＝4，∴＝
3
S6
S3a1
－q6
1－q1－q3
＝33＝1＋q＝5. －q1－q1－q6
(理)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( C ) 1A． 31C． 9
1B．－ 31D．－ 9
[解析] ∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，
a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9，
又∵a5＝9，∴9＝a3·q＝9a3，∴a3＝1， 1
又a3＝9a1，故a1＝. 9
5
2