3．(2018·湖南岳阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝则a2018＝( B )
A．2017 C．4034
[解析] ∵a1＝1，Sn＝
B．2018 D．4036
n＋
2
an，
n＋
2
an，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝即＝∴＝
n＋
2
annan－1
－2
，
anan－1
，
nn－1
anan－1a1
＝…＝＝1，∴an＝n.
nn－11
∴a2018＝2018.
4．(2018·浙江卷，10)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2
＋a3)．若a1>1，则( B )
A．a1a3，a2a4 D．a1>a3，a2>a4
[解析] 由x>0，ln x≤x－1，得a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，a4≤－1，所以公比q<0，当q≤－1时，a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q)<0，此时a1＋a2＋a3＝
2
a1(1＋q＋q2)≥a1>1，ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾，所以－1
－a4＝a1q(1－q)<0.
5．(2018·南昌二模)数列{an}的前n项和Sn＝2n－3n(n∈N)，若p－q＝5，则ap－aq＝( D )
A．10 C．－5
2
2
*
2
B．15 D．20
2
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3n－2(n－1)＋3n－3＝4n－5，a1＝S1＝－1适合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)，因为p－q＝5，所以ap－aq＝20.
6．(2017·吉林长春质量监测)设数列{an}的前n和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝( A )
A．n－1 22n－1C．n 2－1
nn＋1
B．n－1 2＋1
D．n＋1
2
n＋1
6
[解析] 设bn＝nSn＋(n＋2)an，则b1＝4，b2＝8， {bn}为等差数列，所以bn＝4n，即nSn＋(n＋2)an＝4n，
Sn＋(1＋)an＝4.
n22
当n≥2时，Sn－Sn－1＋(1＋)an－(1＋)an－1＝0，所以
nn－12·＝
*
2
n＋
nan＝
n＋1
·an－1，即n－1
anan－1a1an1an1n－1
，又因为＝1，所以{}是首项为1，公比为的等比数列，所以＝()(nnn－11n2n2
n*
∈N)，an＝n－1(n∈N)．故选A．
2
7．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋3，则S4＝66. [解析] 本题主要考查数列的通项公式与求和．
依题an＝2Sn－1＋3(n≥2)，与原式作差得，an＋1－an＝2an，n≥2，即an＋1＝3an，n≥2，可见，数列{an}从第二项起是公比为3的等比数列，a2＝5，所以S4＝1＋5
－31－3
3
＝66.
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝50.
[解析] ∵a10a11＋a9a12＝2e，∴a1·a20＝e. 又∵lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)] ＝ln(e)＝lne＝50.
注意等比数列性质：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq，对数的性质logam＝nlogam. 9．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
?1?1
(2)记数列??的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值．
1 000?an?
n510
50
5
5
[解析] (1)由已知Sn＝2an－a1， 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)． 从而a2＝2a1，a3＝4a1.
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)． 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an＝2.
n 7
11
(2)由(1)得＝n.
an2
1??1?n?1－????
?2??11112?
所以Tn＝＋2＋3＋…＋n＝
22221
1－21＝1－n.
2由|Tn－1|<
9
1?1?1，即2n>1 000. 得?1－n－1?<1 000?2?1 000
10
因为2＝512<1 000<1 024＝2， 所以n≥10.
1
于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.
1 000
10．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，
n∈N*，又2a2，a3，a2＋2成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝2an－λ(log2an＋1)，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围． [解析] (1)由Sn＋1＝qSn＋1 ① 可得，当n≥2时，Sn＝qSn－1＋1 ② ①－②得：an＋1＝qan. 又S2＝qS1＋1且a1＝1， 所以a2＝q＝q·a1，
所以数列{an}是以1为首项，q为公比的等比数列． 又2a2，a3，a2＋2成等差数列， 所以2a3＝2a2＋a2＋2＝3a2＋2， 即2q＝3q＋2. 所以2q－3q－2＝0， 1
解得q＝2或q＝－(舍)，
2所以数列{an}的通项公式为：an＝2(2)由题意得：bn＝2·2
n－1
n－1
22
2
(n∈N)．
n2
n2
*
－λ(log22)＝2－λn，
若数列{bn}为递增数列，则有
bn＋1－bn＝2
n＋1
2
－λ(n＋1)－2＋λn＝2－2nλ－λ>0，即λ<. 2n＋1
2
nn2n 8
2
2n＋34n＋2因为n＝>1，
22n＋32n＋12
所以数列{}为递增数列． n2n＋1222所以≥3，所以λ<3.2n＋1
n＋1
n
9