苏州科技学院本科生毕业设计（论文）
第三章 小波变换的理论基础
3.1 小波变换与傅里叶变换
3.1.1 小波变换的理论基础
小波变换是一种信号的时间-尺度分析方法，具有多分辨率分析的特点，而且在时间域和频率域都具有表征信号局部特征的能力，是一种时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，正是这种特性使小波变换具有对信号的自适应性。
3.1.2 小波变换和傅里叶变换的比较
傅里叶变换广泛应用于信号处理，但它只能较好地应用于平稳信号，只能提供信号的全局信息，缺少信号的局部信息。Gabor引入局部傅里叶变换，通过一个滑动窗，可以实现时频分析，这种方法具有局部化分析能力，但对于一个固定窗函数，它的分辨率也是固定的，只能应用于平稳信号的分析，对非平稳信号就无法分析。小波变换产生于传统傅里叶分析和短时傅里叶分析，能体现信号的局部信息，而且可以调整时间分辨率和频率分辨率的尺度，对非平稳信号的分析取得了较好的效果。
小波变换的理论基础来源于傅里叶分析，与傅里叶变换紧密联系在一起，傅里叶变换是小波基构造的主要理论依据，二者是相辅相成的，小波变换是对傅里叶变换的发展与提升。两者之间主要有如下差别：
(1) 傅里叶变换以{ej?t}为正交基，然后把能量有限信号f(t)分解到正交基对应的空间上去；小波变换以W?j(j?1,2,?,J)和V?j所构成的空间，再把能量有限信号f(t)分解到W?j(j?1,2,?,J)和V?j构成的空间上。
(2) 傅里叶变换的公式是固定的；小波分析中的小波函数具有多样性，在实际应用中，用不同的小波函数处理同一问题时，其处理结果有时会大相径庭。因此怎么选择小波函数处理实际问题是小波变换在应用中的一个难题，现有的方法是通过反复实验，通过对实验结果的比较，选择效果好的小波函数。
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(3) 傅里叶变换在频域中，尤其是作用到一些较平稳的信号，取得了较好局部化效果，傅里叶变换中的f(?)d?表示频率为?的谐波分量的振幅，f(t)的全局特性决定了f(?)d?。
(4) 小波分析中的尺度a相当于傅里叶变换中的?,a值越大对应?的值越小。
(5) STFT的变换系数S(?,?)取决于区间????,????的信号，?是由函数
g(t)唯一确定，时间宽度固定为2?。小波变换的变换系数Wi(a,b)取决于区间
^^?b?a??,b?a???的信号情况，其时间宽度为2a??,该时间宽度由尺度a决定，
随a变化而变化的，因此小波变换和傅里叶变换相比更具灵活性。
3.2 小波变换基本理论
3.2.1 一维连续小波变换(CWT)
在Fourier变换F(?)??f(t)e?jxdx中，用小波基函数?(x)做平移和伸缩
????x?b??x?b?jx变换，得到函数??,用????代替傅里叶变换的基函数e的伸缩函数
?a??a?ej?x,得到的新变换就称为连续小波变换，具体定义如下：
函数?(x)?L2(R)称为小波函数(又叫基本小波或母小波)，如果满足准许条件：
???(?)?d??? (3.1)
^2C???^??其中????为????的Fourier变换，则连续小波变换定义为：
(W?f)(a,b)?1a?????f(x)?*(x?b)dx (3.2) a 式中：a,b?R且a?0,a为缩放因子（对应于频率信息）；b为平移参数(对应于时空信息);?*(x)表示?(x)的复共轭。准许条件在f(t)?L2(R)下可以等价地表示为：
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??(t)dt?0 (3.3)
????小波变换结果为各种小波系数，这些系数由尺度和位移函数组成。 3.2.2 一维离散小波变换（DWT） f(x)?1C??2a??(W?f)(a,b)?a,b(x)dadb (3.4) R2 令a?a1,b?b1,则
(W?f)(a1,b1)??f(t)?R?(t)dt
a,b11?11 ??[??2(W?f)(a,b)?a,b(t)dbda]?a1b(t)dt
1CR?0??a?11 ???2(W?f)(a,b)[?a,b(t)?a1b(t)dt]dbda ?1C?R0??a?????????????1(W?f)(a,b)K?(a,a1,b,b1)dbda (3.5) 2??a0???1 式中，K?(a,a1,b,b1)?显然，当?a,b(t)?a,b(t)?a1b(t)dt称之为再生核。
1C??R与?a1,b1?t?正交时，K?(a,a1,b,b1)?0,即这时(W?f)(a,b)对(W?f)(a1,b1) “没有贡献”。小波的尺度当j?0时，取b?a0jb0,下面小波函数可以实现离散化且不丢
?j2?j失信息： ?j,k(t)?a0?a0t?kb0 j,k?Z (3.6)
??根据以上的讨论，离散小波变换的定义如下：
?j设?a,b?t??L?R?,a0?0是常数，?j,k?t??a0?a0t?k ?j,k?Z?.则称
2?j2??? (Waf)(j,k)??f(t)?R(t)dt (3.7)
j,k为f?t?的离散小波变换。特别地，取a0?2,则称以离散小波函数
?j?j,k?t??a0??a0t?k? ?j,k?Z?为函数的（3.7）式变换称为二进制小波变换。
?j23.2.3 二维连续小波变换
若信号函数f?x,y??L2?R?,??x,y?为二维小波母函数，则其构造可由一维母
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小波的张量积形成。 ?a,b,c?x,y??1?x?by?c???,?a,b,c?R且a?0 (3.8) a?aa? 因为图像信号是一种二维信号，所以将一维小波扩展为二维情况，便于后续的使用和分析。
(W?f)(a,b,c)?1a???x?by?c?f?x,y???,?dxdy (3.9)
a??a3.2.4 二维离散小波变换
?j?j?j我们只要把参数a,b,c离散化a?a0,b?k1b0a0,c?k2c0a0,a0,b0,c0为常
数，j,k1,k2?Z,则有离散参数变换：
??a0jx?k1b0,a0jy?k2c0?dxdy (3.10) DPWT?j,k1,k2??a0j??f?x,y?将x,y离散化，即得到离散空间小波变换：
DSWT(j,k1,k2)?a0j??f(l1,l2)?(a0l1?k1b0,a0l2?k2c0)l1,l2?Z (3.11）
jjl1l2令a0?2,b0?c0?1,即得到离散小波变换，表示为：
DWT(j,k1,k2)?2j??f(l1,l2)?(2jl1?k1,2jl2?k2) l1,l2?Z (3.12)
i1i23.3 小波变换的多尺度分析
小波变换的多尺度分析（或多分辨率分析）是建立在函数空间概念上的理论，随着尺度由大到小变化，在每个尺度上可以由粗及细地观察图像的目标。大尺度
时，观察到的是图像的基本特征；在小尺度的空间里，则可以看到目标的细节。
把二维图像信号f(x,y)?L2(R2)所占据的总频带定义为V0(2)(x,y)空间，用理想的低通滤波器h0和高通滤波器h1在行、列方向将它们分别分解成低频部分
V1(1)(x)和高频部分W1(1),每一方向的两部分分别反映出该图像信号在剖分方向上的概貌和细节；对于V1(1)(x)?V1(1)(y)经第二级?a?2?分解后又被剖分成低频
V2(1)(x)?V2(1)(y)、垂直方向的高频V2(1)(x)?W2(1)(y)、以及对角线方向的高频W2(1)(x)?W2(1)(y)，......,在这种空间剖分过程中，Vj(1)(i)(i?x,y)反映的是图
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2)(1)i像信号在空间Vj(?1(x,y)中沿方向的低频子空间，Wj(i)(i?x,y)反映的是图像2)i信号在空间Wj(?1(x,y)中沿方向细节的高频子空间。
从多分辨率分析可以看出，空间的每次剖分包含两部分：一部分是图像信号通过低通滤波后得到的低频概貌；另一部分是通过带通滤波（小波变换）得到的图像高频细节。对于低频概貌，重复以上过程，最终把图像信号分解成多个等级的高频细节与最后一次低通滤波后的低频概貌之和。
在剖分过程中，这些子空间具有以下特征： (1) 单调性：Vj?Vj?1对于任意j?Z; (2) 逼近性：?Vj??0?,?Vj?L2(R);
j?Zj?Z(3) 伸缩性:f?t??Vj?f?2t??Vj?1;
(4) 平移不变性: f?t??Vj?ft?2jk?Vj;
满足的上述性质称为多尺度分析，即任意函数f(x,y)?V0(2)(x,y),应用多尺度分析将其分解为细节部分或是某一方向上的细节部分和f?x,y?的基本特征部分Vi(1)(x)?Vi(1)(y)，然后将Vi(1)(x)?Vi(1)(y)进一步分解，可得到任意尺度下
??f?x,y?基本特征部分以及细节部分之和
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