大连理工大学2009年数学分析考试试题 数学分析试题解答 一、 计算题 1、 求极限：lim解：
lima1?2a2?...?nann2a1?2a2?...?nann2n??,其中liman?an??
n???lim(n?1)an?1(n?1)?n22n???lim(n?1)an2n?1n???a2(利用Stolz公式)
2、求极限：limex???x(1?1x)x2
解：
limex???x(1?1xx1)xx2(1??lim(x??1x)xe(1?1x)xx(1??limx??1)?e?limx??)(ln(1??1x21x)?1x?1)x?elimxx??(1?12x2?o(?12x12))?1x?1??e21xe
x?limex???x(1?1x)x2(1??lim(x??)xe?)?lim(x??xe2x)x?1ee
3、证明区间（0，1）和（0，+?）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx。
4、计算积分??D1y?x2dxdy，其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域
解：
??D1y?x210dxdy???01y021y?xdxdy??10ln(x?y)|0dy2y??ln(1?y)dy??10lnydy1
?[(1?y)ln(1?y)?(1?y)?ylny?y]|0?2ln2
?xdy5、计算第二类曲线积分：I??C?ydx，C:x2?2y222x?y?1方向为逆
时针。 解
?x?cos??,??[0,2?)1?sin??y?2?1I??ydx?xdyC2?0：
?x?y22????换元?2sin??12?122122cos?d???242cos?2?2?0cos2?3?cos2?d?1?x?万??????能公式代换x?tan?22??8?2????1?xdarctanx??42?2??1?x3?21?x????(2?x)?2322(2?x)(1?x)(1?x)dx2??42?????11?x2dx??6?x?1????2?2dx2??42??6? 6、设
a?1?a>0,b>0,证明：????b?1?b?1?a?????b?b。
证明：
?a?1????b?1??a?1????b?1?bb?1a?b??a?????，构造函数f(x)??1??x??b??a?b????1??b?1??bb?1bxb?1?f(b?1)a?b??a???1??????f(b)bb????a?b?a?ba?b?f'(x)??1?[ln(1?)?]?0(Taylor展开可以证明)?x?xx?(a?b)?所以f(x)递增，从而得证x
二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且?[a,b]f(x)f(x)dx?0,证明：
2在[a,b]上几乎处处为0。 证明：
反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。
An?{x|f(x)?1nn2??},A??A。必然存在某个Ann?1n,mAn?0?[a,b]f(x)dx?2mAn
?0,矛盾
三、 设函数f(x)在开区间（0，+?）内连续且有界，是讨论f(x)
在（0，+?）内的一致连续性。 讨论：非一致连续，构造函数：
f(x)?sin1x显然，f(x)连续且有界。但是f(x)在x?0时非一致连续反证法：如果一致连续，对???0,x?0,???0,当|x'?x\|??|sin1x'?sin2(2n?1)??sin1x\1x\|??.取??1,x\?1n?。当n足够大的时候|x'?x\|?1(2n?1)n???
令x'?|sin1x'|?1??四、 设
2?xy,(x,y)?(0,0)?42f(x,y)??x?y??0,(x,y)?(0,0)，讨论函数的连续性和可微性。
解：
1）连续性：连续
limxyx?y422x?0y?0?limy1?yx24x?0y?0?0
2）可微性：可微
fx(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xf(0,y)?f(0,0)y?0?0xyx?y222x?0fy(0,0)?limx?0
limf(x,y)?fx(x,y)?fy(x,y)x?yx1?yx2222x?0y?0?limx?0y?0x?y42
?limx?0y?01?yx24?0
五、 设f(x)在（a,b）内二次可微，求证：
???(a,b)，满足f(a)?2f(a?b2)?f(b)?(b?a)42f\?)
证明：
令g(x)?f(x?g(x)?g(a)x?ab?a2b?a2b?a2)?f(x)，利用Cauchy中值定理：b?a2)?f(?),??(a,x)?g'(?)?f(??利用Lagrange中值定理：f(??令?=)?f(?)?b?a2f\?),??(?,??b?a22
b?a2),原式?g(x)?g(a)?()f\?)六、 f(x)在R上二次可导，?x?R，f\x)?0,?x0?R,f(x0)?0
x???limf'(x)???0,limf'(x)???0，证明：f(x)在
x???R上恰有两个零点。
证明：
(1)先证：当x???的时候，f(x)?0?limf'(x)??,所以，当x的绝对值足够的时候,不妨设x?x1?0,x???f'(x)??2当x?x1时，f(x)?f(x1)?(x?x1)当x??2f(x1)?2.??x1的时候，f(x)?0(2)同理,当x???的时候，f(x)?0又f\x)?0?f'(x)为递增函数?f(x)先单调减少，在单调递增?f(x0)?0，根据连续函数的介值定理，在(??,x0),(x0,??)各有一个零点
七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割
?:a?x0?x1?...?xn?b,??i,?i?[xi,xi?1],i?0,1,2,....有n?1|?|?0lim?i?0f(?i)g(?i)?xi??baf(x)g(x)dx
证明：
根据定义n?1?baf(x)g(x)dx?lim|?|?0?i?0f(?i)g(?i)?xin?1n?1n?1|?f(?i)g(?i)?xi?i?0n?1?i?0f(?i)g(?i)?xi|?|?f(?i)[g(?i)?g(?i)]?xi|i?0?max{|f(?i)|}?|g(?i)?g(?i)|?xiii?0n?1n?1
由于g(x)可积，所以?|g(?i)?g(?i)|?xi?i?0n?1n?1???xii?0i?0，(?i为振幅)?lim|?f(?i)g(?i)?xi?|?|?0i?0?i?0f(?i)g(?i)?xi|?0，从而得证