八、 求级数：?n?0?(?1)n3n?1
解：
??n?0?n?0(?1)xn3n?1?3n?1n3n?x?n?0(?1)(x)3n?1n3n在(?1,1]内收敛?(?1)M(x)在(?1,1]内一致收敛，所以可以逐项求导n3nM(x?n?0?(?1)(x)3n?1n)'??(?1)n?0n(x)?3n1?(?x)1?x103M?3311?3n?1n?0(?1)?lim?1M???10?101?(?x)1?x22M?13dx?1?11?x13dx??3)dx(3?3201?x1?x?x12)1x?2
?ln(1?x)3ln231?6d(x?x)1?x?x2x?13??231034?(x?12d(x?)2??3arctan|0?1ln2??33
九、 讨论函数项级数?x(n2e?nx2??2?(n?1)e2?(n?1)x22)在(0,1)和(1,+∞)的
n?1一致收敛性 讨论：?x(n2e?nx2??2?(n?1)e2?(n?1)x22)?xlim(nen??2?nx22)
n?11） 0 xlim(nen??2?nx22)?0级数收敛，但不一致收敛。取xn?1n,|Sn(xn)?0|?n不趋近于0，所以不一致收敛 2） x>1 xlim(nen??2?nx22)?02(xe?x2)'?e?nx22?x(1?2x)?0即xen2?nx2222?x2??1en2?xne2?ee?n2ee?n2 2?e4????0,?x?1,?N??4ln?,?n?N,Sn(x)?? 十、 计算???x2dydz?ydzd?x22zd，xd其y中?为圆锥曲面z?x?y222被平 面z=0,z=2所截部分的外侧。 解： ?????xdydz?ydzdx?zdxdy?222?0z222???V(x?y?z)dxdydz???00(rcos??rsin??z)rd?drdz22?0 z2?00?20dz?rdr?0(cos??sin?)d???20zdz?rdr?d??4? 十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f(1)<=1,证明： ???[0,1],f(?)??3 证明： M?{x|f(x)?x,x?[0,1]}m?infM显然M非空,下证:f(m)?m3333反证法：如果命题不成立，那么显然f(m)?m,不妨设f(m)?m?r?0?x?m,f(x)?x333 f(x)?f(m)?r?x?m3由于y?x是连续函数，所以，对?r>0存在x'x'?m?r?0,与单调性矛盾。33 十二、设f(x)在[0,+∞]上连续，? limx????0?(x)dx绝对收敛，证明： ?n0??xf()?(x)dx?f(0)??(x)dx0n 证明： limx???n0??0f()?(x)dx?f(0)??(x)dx0nx??因为??(x)dx绝对收敛，当n足够大的时候?n0?(x)dx????0?(x)dx xf()?(x)dx?f(0)??(x)dx|?|?[f()?f(0)]?(x)dx|?f(0)?00nn??n??0x???|?(x)dx|?f(0)?由于?的任意性，所以命题成立 十三、设an?0，证明： ln(1/an)lnnln(1/an)lnn?1时，级数?ann?1???? 当下极限liminfn??收敛 发散 当上极限limsupn???1时，级数?ann?1 证明：（1） liminfn??ln(1/an)lnn?1?2r?1ln(1/an)lnn?1?r?1?1/an?n1?r即n足够大的时候an?n?(1?r) 根据积分判别公式，知命题成立（2） limsupn??ln(1/an)lnn?1ln(1/an)lnn?1?r?1?1/an?n1?r即n足够大的时候an?n?(1?r) 根据积分判别公式，知命题成立 以上是我做的大连理工的数学分析。由于我没有自学过实变函数，所以那两道题目我是临时抱佛脚的。如果表达有问题，请大家不要介意。 如果有错，请大家及时告诉我，我可以发帖子把勘误发上去。 说实话，输入实在太累了。基本上要花掉我6~7个小时的时间，我倒还好，直研之后没有什么事，但是，有不少网友现在就要考研了，还帮助大家作卷子。真得很令人感动。努力向他们学习！ 朱斌 zhubin846152 2005-11-1 p.s:我常用的邮箱：zhubin846152@163.com msn:zhubin846152@hotmail.com