??'?m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a绝?a相?a牵
g25a1?a??a?g??g42 ∴
a1??arctan?arctan?26.6oa?2，左偏上．
?v?m2-6一质量为的质点以与地的仰角=30°的初速0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质
222点落地时相对抛射时的动量的增量．
解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下, 而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为
o由矢量图知，动量增量大小为，方向竖直向下．
2-7 一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为0.5s．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1?gt?0.5g，小球上跳速度的大小亦为v2?0.5g．设向上为y轴正向，则动量的增量
?mv0????p?mv?mv0
????p?mv2?mv1方向竖直向上，
大小
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
??p?mv2?(?mv1)?mg?F?(10?2t)i2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中t的单位是s，(1)求4s后，
这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，
?-1
该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度?6jm·s的物体,
回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si00,沿x轴正向，
????p1?1?v1??5.6m?sim???I1??p1?56kg?m?s?1i ?1若物体原来具有?6m?s初速，则
?tt?F?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt0m0于是
t??????p2?p?p0??Fdt??p10, ?????v??v1,I2?I1 同理， 2这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，
那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
I??(10?2t)dt?10t?t2亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
02t
2-9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为?
求质点的动量及t＝0 到解: 质点的动量为
t??2??时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．
???r?acos?ti?bsin?tj
将t?0和
t??2?分别代入上式，得
????p1?m?bj,p2??m?ai,
????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
?1vm?s02-10 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得
(2)子弹所受的冲量
t?ab
t1I??(a?bt)dt?at?bt202
t?将
ab代入，得
a2I?2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
2-11 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为?
Ia2m??v02bv0
2kT2Tv+m, v-km
证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得
m1?kmm,m2?k?1k?1 ①
又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2222 ②
mv?m1v1?m2v2 ③
联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2T?(v1?v)2km
于是有
将其代入④式，有
v1?v?2Tkm 2kTm
v2?v?又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?证毕．
2kT2T,v2?v?mkm
????????F?7i?6jNr??3i?4j?16km合F2-12 设．(1) 当一质点从原点运动到时，求所作
的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能
的变化．
?F解: (1)由题知，合为恒力，
???????A?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k) ∴ 合 ??21?24??45J
P?(2)
A45??75w?t0.6
k(3)由动能定理，
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．?
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
?E?A??45J题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
kss02 ①
式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A1??f?dy???fdy??kydy?1A2??kydy?1y212kky2?22 ②
由题意，有
1kA2?A1??(mv2)?22 ③
12kkky2??222 即
所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)?k/r, 试求质点所受保守力的大小和方向．
nF(r)?解:
?方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
dE(r)nk??n?1drr
2-15 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性
势
能之比．?
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有
题2-15图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
所以静止时两弹簧伸长量之比为
FB?k2?x2
?x1k2??x2k1
弹性势能之比为
Ep1Ep22-16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×10kg，地球中心到月球中心的距离3.84×10m，月球质量7.35×10kg，
6
月球半径1.74×10m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?? 解: (1)设在距月球中心为r处
24
8
22
1k1?x12k?2?21k12k2?x22
F月引?F地引，由万有引力定律，有
G经整理，得
mM月r2?GmM地?R?r?2
r?M月M地?M月R
7.35?1022=
5.98?1024?7.35?1022?3.48?108
6 ?38.32?10m
则P点处至月球表面的距离为
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m
?G11EP??GM月rM地?R?r?
7.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10?7?38.4?3.83??107 3.83?10?1.28?106J
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为?，最初m1静止于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落下m1,求它下落到B处时的速率．
解: 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
??m2gh?式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则 联立上述两式，得
11(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2]22
?l?AC?BC?(2?1)h