整式的除法（提高）
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算． 2. 会进行单项式除以单项式的计算． 3. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a?a?amnm?n（a≠0，m、n都是正整数，
并且m?n）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a?1（a≠0）
要点诠释：底数a不能为0，0无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出
现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组
合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点四、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即
00?am?bm?cm??m?am?m?bm?m?cm?m?a?b?c
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实
质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化. 【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
1、计算下列各题：
（1）(x?y)?(x?y) （2）(5a?2b)?(2b?5a) （3）(3?10)?(3?10) （4）[(x?2y)]?[(2y?x)]
646233245125
【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如(5a?2b)12?(2b?5a)12．（2）注意指数为1的多项式．如x?y的指数为1，而不是0． 【答案与解析】
解：（1）(x?y)5?(x?y)?(x?y)5?1?(x?y)4．
（2）(5a?2b)12?(2b?5a)5?(2b?5a)12?(2b?5a)5?(2b?5a)7 （3）(3?106)4?(3?106)2?(3?106)4?2?(3?106)2?9?1012．
（4）[(x?2y)3]3?[(2y?x)2]4?(x?2y)9?(x?2y)8?(x?2y)9?8?x?2y． 【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．
2、已知3?2，3?4，求9【答案与解析】 解： 9m?1?2nmnm?1?2n的值．
9m?1(32)m?132m?232m3232m32(3m)232． ?2n?22n?4n???9(3)334n(3n)4(3n)4n22?329?当3?2，3?4时，原式?． 4464m3的式子，【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3，再代入求值．本
题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：
【变式】已知2?5?5?2，求m的值． 【答案】
解：由2?5?5?2得5mmm?1mmmn?2m?1，即5m?1?2m?1?5??1，???2?m?1?1，
∵ 底数
5不等于0和1， 2?5?∴ ???2?m?1?5????，即m?1?0，m?1． ?2?0类型二、单项式除以单项式
3、先化简，再求值．
?5455?22?5323??7347???xyz??xyz???xyz????xyz?4x?18?3?6??8?x??1，y??2，z?3．
【答案与解析】 解：原式??y?745yz，其中2534?15?25?1?5323??7?7?xyz???xyz?????4x3?1y4?1z7??y4z5 182?6??8?25334?5323?7457745xyz???xyz??xyz?yz 122?6?2 ??563?33?24?3?xyz?x4y5?4z7?5 1251014242 ?xyz?xyz?yz?xyz．
22 ? 当x??1，y??2，z?3时，
11yz?x4yz2??(?2)?3?(?1)4?(?2)?32??3?18??21． 22【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂
相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错． 类型三、多项式除以单项式
4、计算： （1）?(?3xy)??2x3?2x2(3xy3)321?y??9x4y2； 2?（2）[(x?2y)(x?2y)?4(x?y)]?6x；
（3）[2(a?b)?3(a?b)?(?a?b)]?[2(a?b)]．
【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中(a?b)看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算． 【答案与解析】 解：（1）原式??9xy55433??22x3?2x251027x3y9421?y??9x4y2 2?8 ?(9xy?27xy)?9xy?x?3xy．
（2）原式?[x?4y?4(x?2xy?y)]?6x?(x?4y?4x?8xy?4y)?6x
222222222
?(5x2?8xy)?6x?54x?y． 63（3）原式?[2(a?b)5?3(a?b)4?(a?b)3]?[2(a?b)3]
?2(a?b)5?2(a?b)3?3(a?b)4?2(a?b)3?(a?b)3?2(a?b)3
31?(a?b)2?(a?b)?．
22【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应
注意整体思想的应用，如第（3）题． 举一反三：
【变式】先化简，再求值．
（1）[(x?2y2)2?(x?y2)(x?y2)?5y4]?2y，其中x??2，y?
2221； 4
（2）已知2x?y?10，求[(x?y)?(x?y)?2y(x?y)]?4y的值． 【答案】
解：（1）原式?[x?4xy?4y?(x?y)?5y]?2y
224244?(x2?4xy2?4y4?x2?y4?5y4)?2y
?4xy2?2y?2xy．
当x??2，y?
211时，原式?2?(?2)???1． 442222（2）原式?(x?y?x?2xy?y?2xy?2y)?4y
?(4xy?2y2)?4y
?x?1y． 211y?5，即x?y?5． 222由已知2x?y?10，得x?5、已知一个多项式除以多项式a?4a?3所得的商式是2a?1，余式是2a?8，求
这个多项式．
【答案与解析】
解： 所求的多项式为
(a2?4a?3)(2a?1)?2a?8?2a3?8a2?6a?a2?4a?3?2a?8
?2a3?9a2?5．
【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商
式＋余式，应牢记这一关系式．