内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 课时作业(二十四) 第24讲 正弦定理和余弦定理的应用
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1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者( ) A.北偏东80°的方向 B.东偏北80°的方向 C.北偏西80°的方向 D.西偏北80°的方向
2.如图K24-1所示,在地平面上有一旗杆OP(O在地面),为了测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,测得其长为20 m,在A处测得P点的仰角为30°,在B处测得P点的仰角为45°,又测得∠AOB=30°,则旗杆的高h等于
图K24-1
( )
A.10 m B.20 m C.10 m D.20 m
3.某船以每小时15 km的速度向正东方向行驶,行驶到A处时,测得一灯塔B在A的北偏东60°的方向上,行驶4小时后,船到达C处,测得这个灯塔在C的北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为 ( ) A.60 km B.60 km C.30 km D.30 km
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4.[2018·河南豫南豫北联考] 线段的黄金分割点定义:若点P在线段MN上,且满足MP=NP·MN,则称点P为线段MN的黄金分割点.在△ABC中,AB=AC,A=36°,若角B的平分线交边AC于点
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D,则点D为边AC的黄金分割点,利用上述结论,可以求出cos 36°=( )
A.C. -
-
B.D.
5.[2018·上海徐汇区一模] 某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°的方向,与A相距6.0海里,船由A向正北方向航行8.1海里到达C处,这时灯塔B与船相距 海里.(精确到0.1海里) 能力提升
6.如图K24-2所示,无人机在离地面高200 m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为 ( )
图K24-2
A.300 m B.300 m C.200 m D.275 m
7.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图K24-3所示,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长 米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为( )
图K24-3
A.
米
B.2米 C.(1+ )米 D.(2+ )米
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8.从某船上开始看见灯塔A时,灯塔A在船的南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后,看见灯塔A在船的正西方向,则这时船与灯塔A的距离是( ) A.15 km B.30 km C.15 km D.15 km 9.[2018·南昌一模] 已知台风中心位于城市A的东偏北α(α为锐角)方向的150公里处,台风中心以v公里/时的速度沿正西方向快速移动,小时后到达城市A西偏北β(β为锐角)
方向的200公里处,若cos α= cos β,则v=( ) A.60
B.80
C.100 D.125
10.一艘游轮航行到A处时,测得灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12 海里,灯塔C在
A的北偏西30°方向,距离为12 海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时,测得灯塔B在其南偏东60°方向,则此时灯塔C位于游轮的 ( )
A.正西方向 B.南偏西75°方向 C.南偏西60°方向
D.南偏西45°方向
11.在一幢10 m高的房屋顶部测得对面一塔顶的仰角为60°,塔基的俯角为30°,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为 .
12.某港口停泊着两艘船,大船以每小时40海里的速度从港口出发,沿北偏东30°方向行驶2.5小时后,小船开始以每小时20海里的速度向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向行驶,期间,小船行进方向不变,从大船折向开始到与小船相遇,最少需要 小时.
13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为 米.
14.(10分)如图K24-4所示,一艘巡逻船由南向北行驶,在A处测得山顶P在北偏东15°(∠
BAC=15°)的方向,匀速向北航行20分钟到达B处,测得山顶P位于北偏东60°的方向,此时
测得山顶P的仰角为60°,已知山高为2 千米. (1)船的航行速度是每小时多少千米?
(2)若该船继续航行10分钟到达D处,问此时山顶位于D处的南偏东什么方向?
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图K24-4
15.(12分)如图K24-5所示,某公园的三条观光大道AB,BC,AC围成一个直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.
(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;
(2)若∠CEF=θ,θ∈ ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间的距离的2倍,且∠DEF=,请将
甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.
图K24-5
难点突破
16.(13分)如图K24-6所示,某镇有一块三角形空地,记为△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km, ∠AOB=90°.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,记为△
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OMN,其中M,N都在边AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM上形成假山,剩下的△OBN开设儿童游乐场.为了安全起见,需在△OAN的周围安装防护网.
(1)当AM= km时,求防护网的总长度.
(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的 倍,试确定∠AOM的大小.
(3)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN的面积最小?最小面积是多少?
图K24-6
课时作业(二十四)
1.C [解析] 注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形(图略),分析可得C正确. 2.B [解析] 由题意得∠PAO= °,∠PBO= °,∴AO= h,BO=h,又AB=20 m, 在△ABO中,由余弦定理得AB=400=( h)+h-2 h·h·cos °,解得h=20(m).
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